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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3296453913418618 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(-re\right)}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 7.75134375027333 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.3296453913418618 \cdot 10^{+154}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(-re\right)}\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 7.75134375027333 \cdot 10^{-79}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.3296453913418618e+154)
   (* 0.5 (exp (log (sqrt (* 2.0 (- re))))))
   (if (<= re 7.75134375027333e-79)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (*
      0.5
      (/
       (sqrt (* 2.0 (* im im)))
       (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.3296453913418618e+154) {
		tmp = 0.5 * exp(log(sqrt(2.0 * -re)));
	} else if (re <= 7.75134375027333e-79) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -1.3296453913418618e154

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-exp-log_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\right)}}\]

    4. Taylor expanded around inf 51.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{0} - re\right)}\right)}\]

    if -1.3296453913418618e154 < re < 7.75134375027332944e-79

    1. Initial program 23.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 7.75134375027332944e-79 < re

    1. Initial program 53.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary6453.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6453.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6453.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified36.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified36.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification31.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3296453913418618 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(-re\right)}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 7.75134375027333 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020285 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))