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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.361077344108107 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -2.04639252831783 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.361077344108107 \cdot 10^{+154}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -2.04639252831783 \cdot 10^{-306}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.361077344108107e+154)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re))))
   (if (<= re -2.04639252831783e-306)
     (*
      0.5
      (sqrt
       (*
        2.0
        (-
         (*
          (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))
          (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))
         re))))
     (*
      0.5
      (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.361077344108107e+154) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * -re);
	} else if (re <= -2.04639252831783e-306) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((sqrt(sqrt((re * re) + (im * im))) * sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)))) - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (re + sqrt((re * re) + (im * im)))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -1.361077344108107e154

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 52.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{0} - re\right)}\]

    if -1.361077344108107e154 < re < -2.04639252831783e-306

    1. Initial program 20.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary6421.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if -2.04639252831783e-306 < re

    1. Initial program 46.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary6445.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified36.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    5. Simplified36.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification32.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.361077344108107 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -2.04639252831783 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020277 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))