Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 6.3 → 4.3

Time: 9.2s

Precision: binary64

Math

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \leq -\infty \lor \neg \left(z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \leq 6.780837786162748 \cdot 10^{+53}\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \frac{z \cdot z}{x} - 0.0027777777777778 \cdot \frac{z}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) + 0.083333333333333}{x}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
  (/
   (+
    (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z)
    0.083333333333333)
   x)))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (or (<=
          (* z (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778))
          (- INFINITY))
         (not
          (<=
           (* z (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778))
           6.780837786162748e+53)))
   (+
    (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
    (-
     (* (+ y 0.0007936500793651) (/ (* z z) x))
     (* 0.0027777777777778 (/ z x))))
   (+
    (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
    (/
     (+
      (* z (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778))
      0.083333333333333)
     x))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + ((((((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778) * z) + 0.083333333333333) / x);
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (((z * (((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778)) <= -((double) INFINITY)) || !((z * (((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778)) <= 6.780837786162748e+53)) {
		tmp = ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + (((y + 0.0007936500793651) * ((z * z) / x)) - (0.0027777777777778 * (z / x)));
	} else {
		tmp = ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + (((z * (((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778)) + 0.083333333333333) / x);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	6.3
Target	1.2
Herbie	4.3

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.91893853320467 - x\right)\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right) - 0.0027777777777778\right)\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (-.f64 (*.f64 (+.f64 y 7320129949063637/9223372036854775808) z) 3202559735019045/1152921504606846976) z) < -inf.0 or 6.78083778616274829e53 < (*.f64 (-.f64 (*.f64 (+.f64 y 7320129949063637/9223372036854775808) z) 3202559735019045/1152921504606846976) z)

   1. Initial program 24.5

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x}\]

   2. Taylor expanded around inf 24.7

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \color{blue}{\left(\left(\frac{{z}^{2} \cdot y}{x} + 0.0007936500793651 \cdot \frac{{z}^{2}}{x}\right) - 0.0027777777777778 \cdot \frac{z}{x}\right)}\]

   3. Simplified 16.5

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \color{blue}{\left(\frac{z \cdot z}{x} \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right) - 0.0027777777777778 \cdot \frac{z}{x}\right)}\]

   if -inf.0 < (*.f64 (-.f64 (*.f64 (+.f64 y 7320129949063637/9223372036854775808) z) 3202559735019045/1152921504606846976) z) < 6.78083778616274829e53

   1. Initial program 0.2

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 4.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \leq -\infty \lor \neg \left(z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \leq 6.780837786162748 \cdot 10^{+53}\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \frac{z \cdot z}{x} - 0.0027777777777778 \cdot \frac{z}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{z \cdot \left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) + 0.083333333333333}{x}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020277 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))