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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.188805611596897 \cdot 10^{-173}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.0790220575817727 \cdot 10^{-160}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.416279663740342 \cdot 10^{-75}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{4}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.680960150483854 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq 5.188805611596897 \cdot 10^{-173}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 2.0790220575817727 \cdot 10^{-160}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 2.416279663740342 \cdot 10^{-75}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{4}} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 3.680960150483854 \cdot 10^{+97}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 5.188805611596897e-173)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= im 2.0790220575817727e-160)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
     (if (<= im 2.416279663740342e-75)
       (*
        0.5
        (sqrt
         (*
          2.0
          (-
           (*
            (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))
            (sqrt
             (*
              (cbrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))
              (pow (sqrt (cbrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))) 4.0))))
           re))))
       (if (<= im 3.680960150483854e+97)
         (*
          0.5
          (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im))))))))
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re)))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 5.188805611596897e-173) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (im <= 2.0790220575817727e-160) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (im <= 2.416279663740342e-75) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((sqrt(sqrt((re * re) + (im * im))) * sqrt(cbrt(sqrt((re * re) + (im * im))) * pow(sqrt(cbrt(sqrt((re * re) + (im * im)))), 4.0))) - re));
	} else if (im <= 3.680960150483854e+97) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (re + sqrt((re * re) + (im * im)))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < 5.1888056115968967e-173

    1. Initial program 43.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if 5.1888056115968967e-173 < im < 2.0790220575817727e-160 or 3.6809601504838537e97 < im

    1. Initial program 51.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 11.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 2.0790220575817727e-160 < im < 2.41627966374034185e-75

    1. Initial program 29.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary64_43529.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt_binary64_44630.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    6. Simplified30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if 2.41627966374034185e-75 < im < 3.6809601504838537e97

    1. Initial program 22.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary64_38930.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    5. Simplified22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification22.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.188805611596897 \cdot 10^{-173}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.0790220575817727 \cdot 10^{-160}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.416279663740342 \cdot 10^{-75}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{4}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.680960150483854 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020277 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))