Average Error: 1.0 → 0.0
Time: 3.5s
Precision: binary64
\[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]
↓
\[\frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\left(1 + v\right) \cdot \left(\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6} \cdot \left(1 - v\right)\right)\right)}\]
\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}
↓
\frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\left(1 + v\right) \cdot \left(\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6} \cdot \left(1 - v\right)\right)\right)}
(FPCore (v)
 :precision binary64
 (/ 4.0 (* (* (* 3.0 PI) (- 1.0 (* v v))) (sqrt (- 2.0 (* 6.0 (* v v)))))))
↓
(FPCore (v)
 :precision binary64
 (/
  1.3333333333333333
  (* PI (* (+ 1.0 v) (* (sqrt (- 2.0 (* (* v v) 6.0))) (- 1.0 v))))))
double code(double v) {
	return 4.0 / (((3.0 * ((double) M_PI)) * (1.0 - (v * v))) * sqrt(2.0 - (6.0 * (v * v))));
}
↓
double code(double v) {
	return 1.3333333333333333 / (((double) M_PI) * ((1.0 + v) * (sqrt(2.0 - ((v * v) * 6.0)) * (1.0 - v))));
}

Error

Bits error versus v

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Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied *-un-lft-identity_binary640.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\left(\color{blue}{1 \cdot 1} - v \cdot v\right) \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)}\]

  5. Applied difference-of-squares_binary640.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(1 + v\right) \cdot \left(1 - v\right)\right)} \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)}\]

  6. Applied associate-*l*_binary640.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + v\right) \cdot \left(\left(1 - v\right) \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)\right)}}\]

  7. Simplified0.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\left(1 + v\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6} \cdot \left(1 - v\right)\right)}\right)}\]

  8. Final simplification0.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\left(1 + v\right) \cdot \left(\sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6} \cdot \left(1 - v\right)\right)\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020275 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (22+)"
  :precision binary64
  (/ 4.0 (* (* (* 3.0 PI) (- 1.0 (* v v))) (sqrt (- 2.0 (* 6.0 (* v v)))))))