qlog (example 3.10)

Average Error: 61.0 → 0.5

Time: 7.8s

Precision: binary64

\[-1 < x \land x < 1\]

Math

\[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)}\]

↓

\[\left({\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.2222222222222222 + \left(1 + x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{-1} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.05555555555555555 + \left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (*
   (pow (cbrt -1.0) 2.0)
   (+ (* (* x x) 0.2222222222222222) (+ 1.0 (* x 0.6666666666666666))))
  (*
   (cbrt -1.0)
   (+ (* (* x x) 0.05555555555555555) (+ 1.0 (* x 0.3333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	return log(1.0 - x) / log(1.0 + x);
}

↓

double code(double x) {
	return (pow(cbrt(-1.0), 2.0) * (((x * x) * 0.2222222222222222) + (1.0 + (x * 0.6666666666666666)))) * (cbrt(-1.0) * (((x * x) * 0.05555555555555555) + (1.0 + (x * 0.3333333333333333))));
}

Error

Bits error versus x

Target

Original	61.0
Target	0.4
Herbie	0.5

\[-\left(\left(\left(1 + x\right) + \frac{x \cdot x}{2}\right) + 0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)\]

Derivation

1. Initial program 61.0

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)}\]

2. Taylor expanded around 0 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(x + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + 1\right)\right)}\]

3. Simplified 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{-1 - \left(x + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}\]
4. Using strategy rm

5. Applied add-cube-cbrt_binary64 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{-1 - \left(x + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \sqrt[3]{-1 - \left(x + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{-1 - \left(x + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}\]

6. Taylor expanded around 0 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.2222222222222222 \cdot \left({x}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2} + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot {\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2}\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{-1 - \left(x + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}\]

7. Simplified 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.2222222222222222 + \left(1 + x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{-1 - \left(x + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}\]

8. Taylor expanded around 0 0.5

   \[\leadsto \left({\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.2222222222222222 + \left(1 + x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.05555555555555555 \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt[3]{-1}\right) + \left(\sqrt[3]{-1} + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \sqrt[3]{-1}\right)\right)\right)}\]

9. Simplified 0.5

   \[\leadsto \left({\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.2222222222222222 + \left(1 + x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{-1} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.05555555555555555 + \left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}\]

10. Final simplification 0.5

    \[\leadsto \left({\left(\sqrt[3]{-1}\right)}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.2222222222222222 + \left(1 + x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{-1} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.05555555555555555 + \left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020275 
(FPCore (x)
  :name "qlog (example 3.10)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -1.0 x) (< x 1.0))

  :herbie-target
  (- (+ (+ (+ 1.0 x) (/ (* x x) 2.0)) (* 0.4166666666666667 (pow x 3.0))))

  (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))