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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \leq 1.97666836497605 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \leq 8.066341569669094 \cdot 10^{+268}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \cdot im \leq 1.97666836497605 \cdot 10^{-310}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \leq 8.066341569669094 \cdot 10^{+268}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* im im) 1.97666836497605e-310)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= (* im im) 8.066341569669094e+268)
     (*
      0.5
      (/
       (sqrt (* (* im im) 2.0))
       (sqrt (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re)))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im * im) <= 1.97666836497605e-310) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if ((im * im) <= 8.066341569669094e+268) {
		tmp = 0.5 * (sqrt((im * im) * 2.0) / sqrt(re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (*.f64 im im) < 1.97666836497605e-310

    1. Initial program 44.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if 1.97666836497605e-310 < (*.f64 im im) < 8.0663415696690939e268

    1. Initial program 23.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary6431.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6431.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6432.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified23.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified23.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    if 8.0663415696690939e268 < (*.f64 im im)

    1. Initial program 59.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 8.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification22.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \leq 1.97666836497605 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \leq 8.066341569669094 \cdot 10^{+268}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020274 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))