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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -4.015762233969269 \cdot 10^{+118}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{re \cdot -2}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.6035883200910468 \cdot 10^{-206}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8.017246655510101 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{im - re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.4701524095992479 \cdot 10^{+57}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -4.015762233969269 \cdot 10^{+118}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{re \cdot -2}{im}}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -1.6035883200910468 \cdot 10^{-206}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 8.017246655510101 \cdot 10^{-171}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{im - re}{im}}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.4701524095992479 \cdot 10^{+57}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -4.015762233969269e+118)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (/ im (/ (* re -2.0) im)))))
   (if (<= re -1.6035883200910468e-206)
     (*
      0.5
      (/
       (sqrt (* 2.0 (* im im)))
       (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
     (if (<= re 8.017246655510101e-171)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (/ im (/ (- im re) im)))))
       (if (<= re 1.4701524095992479e+57)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re)))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -4.015762233969269e+118) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im / ((re * -2.0) / im)));
	} else if (re <= -1.6035883200910468e-206) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re));
	} else if (re <= 8.017246655510101e-171) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im / ((im - re) / im)));
	} else if (re <= 1.4701524095992479e+57) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.9
Target33.9
Herbie23.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -4.0157622339692688e118

    1. Initial program 61.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6461.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified46.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied associate-/l*_binary6446.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}{im}}}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 24.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\color{blue}{-2 \cdot re}}{im}}}\]

    8. Simplified24.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\color{blue}{re \cdot -2}}{im}}}\]

    if -4.0157622339692688e118 < re < -1.60358832009104682e-206

    1. Initial program 41.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6441.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied associate-*r/_binary6431.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Applied sqrt-div_binary6430.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    8. Simplified30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.60358832009104682e-206 < re < 8.0172466555101013e-171

    1. Initial program 30.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6430.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified30.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied associate-/l*_binary6430.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}{im}}}}\]

    7. Taylor expanded around 0 33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\color{blue}{im} - re}{im}}}\]

    if 8.0172466555101013e-171 < re < 1.4701524095992479e57

    1. Initial program 17.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.4701524095992479e57 < re

    1. Initial program 46.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 12.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification23.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -4.015762233969269 \cdot 10^{+118}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{re \cdot -2}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.6035883200910468 \cdot 10^{-206}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8.017246655510101 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{im - re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.4701524095992479 \cdot 10^{+57}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020273 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))