Average Error: 28.5 → 0.5
Time: 9.8s
Precision: binary64
\[1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} < a \land a < 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} < b \land b < 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} < c \land c < 94906265.62425156\]
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right) \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right)}{b \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right) + \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right) \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}}{a \cdot 2}\]
\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}
↓
\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right) \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right)}{b \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right) + \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right) \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}}{a \cdot 2}
(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))
↓
(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (*
    (* (* a c) -4.0)
    (+
     (pow b 4.0)
     (* (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)) (+ (* b (+ b b)) (* (* a c) -4.0)))))
   (+
    (*
     b
     (+
      (pow b 4.0)
      (* (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)) (+ (* b (+ b b)) (* a (* c -4.0))))))
    (*
     (+
      (pow b 4.0)
      (* (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)) (+ (* b (+ b b)) (* a (* c -4.0)))))
     (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c))))))
  (* a 2.0)))
double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt((b * b) - ((4.0 * a) * c))) / (2.0 * a);
}
↓
double code(double a, double b, double c) {
	return ((((a * c) * -4.0) * (pow(b, 4.0) + (((b * b) - ((4.0 * a) * c)) * ((b * (b + b)) + ((a * c) * -4.0))))) / ((b * (pow(b, 4.0) + (((b * b) - ((4.0 * a) * c)) * ((b * (b + b)) + (a * (c * -4.0)))))) + ((pow(b, 4.0) + (((b * b) - ((4.0 * a) * c)) * ((b * (b + b)) + (a * (c * -4.0))))) * sqrt((b * b) - ((4.0 * a) * c))))) / (a * 2.0);
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

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Derivation

  1. Initial program 28.5

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

  2. Simplified28.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b}{a \cdot 2}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip--_binary6428.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + b}}}{a \cdot 2}\]

  5. Simplified27.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) - b \cdot b}}{\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + b}}{a \cdot 2}\]

  6. Simplified27.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) - b \cdot b}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}}}{a \cdot 2}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied flip3--_binary6427.6

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{{\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3} - {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}}{b + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}}{a \cdot 2}\]

  9. Applied associate-/l/_binary6427.6

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3} - {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{a \cdot 2}\]

  10. Simplified27.6

    \[\leadsto \frac{\frac{{\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)}^{3} - {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}}{a \cdot 2}\]
  11. Using strategy rm

  12. Applied difference-cubes_binary6427.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) - b \cdot b\right)}}{\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{a \cdot 2}\]

  13. Simplified27.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right)} \cdot \left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) - b \cdot b\right)}{\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{a \cdot 2}\]

  14. Simplified0.7

    \[\leadsto \frac{\frac{\left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)}}{\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{a \cdot 2}\]
  15. Using strategy rm

  16. Applied distribute-rgt-in_binary640.7

    \[\leadsto \frac{\frac{\left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)}{\color{blue}{b \cdot \left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)}}}{a \cdot 2}\]

  17. Simplified0.6

    \[\leadsto \frac{\frac{\left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)}{\color{blue}{b \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) + b \cdot \left(b + b\right)\right)\right)} + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)}}{a \cdot 2}\]

  18. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)}{b \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) + b \cdot \left(b + b\right)\right)\right) + \color{blue}{\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) + b \cdot \left(b + b\right)\right)\right)}}}{a \cdot 2}\]

  19. Final simplification0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right) \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + \left(a \cdot c\right) \cdot -4\right)\right)}{b \cdot \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right) + \left({b}^{4} + \left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot \left(b \cdot \left(b + b\right) + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right) \cdot \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}}{a \cdot 2}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020268 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))