math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.3 → 1.8

Time: 8.2s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

↓

\[\left(-\sqrt[3]{im} \cdot \left(\sin re \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2}\right)\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (- (* (cbrt im) (* (sin re) (pow (cbrt im) 2.0))))
  (*
   (sin re)
   (+
    (* 0.16666666666666666 (pow im 3.0))
    (* 0.008333333333333333 (pow im 5.0))))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return -(cbrt(im) * (sin(re) * pow(cbrt(im), 2.0))) - (sin(re) * ((0.16666666666666666 * pow(im, 3.0)) + (0.008333333333333333 * pow(im, 5.0))));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	43.3
Target	0.3
Herbie	1.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Initial program 43.3

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

2. Taylor expanded around 0 0.9

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(2 \cdot im + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)}\]

3. Simplified 0.9

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)}\]

4. Taylor expanded around inf 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)}\]

5. Simplified 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)}\]
6. Using strategy rm

7. Applied add-cube-cbrt_binary64 1.8

   \[\leadsto \left(-\sin re \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \sqrt[3]{im}\right)}\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\]

8. Applied associate-*r*_binary64 1.8

   \[\leadsto \left(-\color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{im}}\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\]

9. Simplified 1.8

   \[\leadsto \left(-\color{blue}{\left(\sin re \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2}\right)} \cdot \sqrt[3]{im}\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\]

10. Final simplification 1.8

    \[\leadsto \left(-\sqrt[3]{im} \cdot \left(\sin re \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2}\right)\right) - \sin re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020260 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))