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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.8053883566464282 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.018402613063608 \cdot 10^{-152}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8204560787731892:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -2.8053883566464282 \cdot 10^{+82}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -3.018402613063608 \cdot 10^{-152}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 8204560787731892:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -2.8053883566464282e+82)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= re -3.018402613063608e-152)
     (*
      0.5
      (sqrt
       (*
        2.0
        (-
         (*
          (fabs (cbrt (+ (* re re) (* im im))))
          (sqrt (cbrt (+ (* re re) (* im im)))))
         re))))
     (if (<= re 8204560787731892.0)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
       (*
        0.5
        (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im))))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -2.8053883566464282e+82) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (re <= -3.018402613063608e-152) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((fabs(cbrt((re * re) + (im * im))) * sqrt(cbrt((re * re) + (im * im)))) - re));
	} else if (re <= 8204560787731892.0) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (re + sqrt((re * re) + (im * im)))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -2.80538835664642818e82

    1. Initial program 47.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 12.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified12.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if -2.80538835664642818e82 < re < -3.01840261306360814e-152

    1. Initial program 15.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt_binary6415.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod_binary6415.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    5. Simplified15.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    if -3.01840261306360814e-152 < re < 8204560787731892

    1. Initial program 33.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 13.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 8204560787731892 < re

    1. Initial program 57.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary6457.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified42.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    5. Simplified42.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification21.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.8053883566464282 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.018402613063608 \cdot 10^{-152}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8204560787731892:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020253 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))