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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 5.161612530822735 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 5.161612530822735 \cdot 10^{+75}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) 0.0)
   (*
    0.5
    (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
   (if (<=
        (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
        5.161612530822735e+75)
     (* (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) 0.5)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re)))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 5.161612530822735e+75) {
		tmp = sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * 0.5;
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 0.0

    1. Initial program 58.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary6458.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6458.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6458.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified27.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified27.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    if 0.0 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 5.1616125308227353e75

    1. Initial program 4.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 5.1616125308227353e75 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re)))

    1. Initial program 63.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification18.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 5.161612530822735 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020233 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))