math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.0754615002920678 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.975022293022832 \cdot 10^{-103}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.6578910116797832 \cdot 10^{-86} \lor \neg \left(re \leq 1.81655221984481 \cdot 10^{-74}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -2.0754615002920678e+66)
   (*
    0.5
    (/
     (* (sqrt (sqrt 2.0)) (* (fabs im) (sqrt (sqrt 2.0))))
     (sqrt (* re -2.0))))
   (if (<= re 6.975022293022832e-103)
     (*
      0.5
      (*
       (fabs im)
       (/ (sqrt 2.0) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
     (if (or (<= re 2.6578910116797832e-86) (not (<= re 1.81655221984481e-74)))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))
       (*
        0.5
        (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -2.0754615002920678e+66) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(sqrt(2.0)) * (fabs(im) * sqrt(sqrt(2.0)))) / sqrt(re * -2.0));
	} else if (re <= 6.975022293022832e-103) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * (sqrt(2.0) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	} else if ((re <= 2.6578910116797832e-86) || !(re <= 1.81655221984481e-74)) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.9
Target	33.9
Herbie	20.6

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -2.0754615002920678e66

   1. Initial program 59.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 59.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64 59.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64 59.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 41.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod_binary64 41.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   9. Simplified 37.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied add-sqr-sqrt_binary64 37.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   12. Applied associate-*r*_binary64 37.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{2}}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   13. Taylor expanded around -inf 11.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

   14. Simplified 11.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\]

   if -2.0754615002920678e66 < re < 6.97502229302283246e-103

   1. Initial program 34.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64 35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64 35.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 31.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64 31.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64 31.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64 31.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64 31.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 25.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   if 6.97502229302283246e-103 < re < 2.65789101167978319e-86 or 1.8165522198448099e-74 < re

   1. Initial program 34.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 18.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

   if 2.65789101167978319e-86 < re < 1.8165522198448099e-74

   1. Initial program 17.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 40.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 40.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 20.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.0754615002920678 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.975022293022832 \cdot 10^{-103}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.6578910116797832 \cdot 10^{-86} \lor \neg \left(re \leq 1.81655221984481 \cdot 10^{-74}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020233 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))