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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.5121543370492806 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.5994446716436156 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.424283181987542 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9018558815767983 \cdot 10^{+73}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.5121543370492806 \cdot 10^{+69}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -1.5994446716436156 \cdot 10^{-18}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 6.424283181987542 \cdot 10^{-300}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.9018558815767983 \cdot 10^{+73}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.5121543370492806e+69)
   (*
    0.5
    (/ (sqrt (* (* im im) 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
   (if (<= re -1.5994446716436156e-18)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re im))))
     (if (<= re 6.424283181987542e-300)
       (*
        0.5
        (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re)))))
       (if (<= re 1.9018558815767983e+73)
         (*
          0.5
          (sqrt
           (*
            2.0
            (+
             re
             (*
              (sqrt (sqrt (+ (* im im) (* re re))))
              (sqrt (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))))
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re)))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.5121543370492806e+69) {
		tmp = 0.5 * (sqrt((im * im) * 2.0) / sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re));
	} else if (re <= -1.5994446716436156e-18) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + im));
	} else if (re <= 6.424283181987542e-300) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (sqrt((im * im) + (re * re)) - re)));
	} else if (re <= 1.9018558815767983e+73) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + (sqrt(sqrt((im * im) + (re * re))) * sqrt(sqrt((im * im) + (re * re))))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.5
Target33.7
Herbie28.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.5121543370492806e69

    1. Initial program 59.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6459.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6459.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6459.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified42.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.5121543370492806e69 < re < -1.5994446716436156e-18

    1. Initial program 45.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 49.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if -1.5994446716436156e-18 < re < 6.42428318198754199e-300

    1. Initial program 34.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6434.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified31.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 6.42428318198754199e-300 < re < 1.90185588157679834e73

    1. Initial program 22.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary6422.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 1.90185588157679834e73 < re

    1. Initial program 47.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 11.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification28.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.5121543370492806 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.5994446716436156 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.424283181987542 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9018558815767983 \cdot 10^{+73}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020232 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))