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Precision: binary64
\[x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}\]
↓
\[x \cdot \left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right) + \left(y \cdot \log z - y \cdot t\right)}}\right)\]
x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}
↓
x \cdot \left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right) + \left(y \cdot \log z - y \cdot t\right)}}\right)
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (* x (exp (+ (* y (- (log z) t)) (* a (- (log (- 1.0 z)) b))))))
↓
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   (sqrt
    (exp
     (+
      (* y (- (log z) t))
      (* a (- (* z (- -1.0 (* z (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5)))) b)))))
   (sqrt
    (exp
     (+
      (* a (- (* z (- -1.0 (* z (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5)))) b))
      (- (* y (log z)) (* y t))))))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return x * exp((y * (log(z) - t)) + (a * (log(1.0 - z) - b)));
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return x * (sqrt(exp((y * (log(z) - t)) + (a * ((z * (-1.0 - (z * ((z * 0.3333333333333333) + 0.5)))) - b)))) * sqrt(exp((a * ((z * (-1.0 - (z * ((z * 0.3333333333333333) + 0.5)))) - b)) + ((y * log(z)) - (y * t)))));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 1.7

    \[x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}\]

  2. Taylor expanded around 0 0.4

    \[\leadsto x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\color{blue}{\left(-\left(z + \left(0.3333333333333333 \cdot {z}^{3} + 0.5 \cdot {z}^{2}\right)\right)\right)} - b\right)}\]

  3. Simplified0.4

    \[\leadsto x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)} - b\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-sqr-sqrt_binary640.4

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)}\]

  6. Simplified0.4

    \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}} \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)\]

  7. Simplified0.4

    \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \color{blue}{\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}}\right)\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied sub-neg_binary640.4

    \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{y \cdot \color{blue}{\left(\log z + \left(-t\right)\right)} + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)\]

  10. Applied distribute-lft-in_binary640.5

    \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{\color{blue}{\left(y \cdot \log z + y \cdot \left(-t\right)\right)} + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)\]

  11. Simplified0.5

    \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{\left(\color{blue}{\log z \cdot y} + y \cdot \left(-t\right)\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)\]

  12. Final simplification0.5

    \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right) + \left(y \cdot \log z - y \cdot t\right)}}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020231 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Numeric.SpecFunctions:incompleteBetaApprox from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64
  (* x (exp (+ (* y (- (log z) t)) (* a (- (log (- 1.0 z)) b))))))