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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.4810819035158894 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\left(-im\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -4.06564811773753 \cdot 10^{-259}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1743424555098952 \cdot 10^{-197}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.731569751909133 \cdot 10^{-179}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8553121509605384 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6357224810606306 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq -3.4810819035158894 \cdot 10^{+153}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\left(-im\right) - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq -4.06564811773753 \cdot 10^{-259}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.1743424555098952 \cdot 10^{-197}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 8.731569751909133 \cdot 10^{-179}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.8553121509605384 \cdot 10^{-162}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 2.6357224810606306 \cdot 10^{+116}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -3.4810819035158894e+153)
   (* 0.5 (* (fabs im) (sqrt (/ 2.0 (- (- im) re)))))
   (if (<= im -4.06564811773753e-259)
     (* 0.5 (* (fabs im) (sqrt (/ 2.0 (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re)))))
     (if (<= im 1.1743424555098952e-197)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))
       (if (<= im 8.731569751909133e-179)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re))))
         (if (<= im 1.8553121509605384e-162)
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))
           (if (<= im 2.6357224810606306e+116)
             (*
              0.5
              (*
               (fabs im)
               (sqrt (/ 2.0 (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re)))))
             (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -3.4810819035158894e+153) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * sqrt(2.0 / (-im - re)));
	} else if (im <= -4.06564811773753e-259) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * sqrt(2.0 / (sqrt((im * im) + (re * re)) - re)));
	} else if (im <= 1.1743424555098952e-197) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	} else if (im <= 8.731569751909133e-179) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	} else if (im <= 1.8553121509605384e-162) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	} else if (im <= 2.6357224810606306e+116) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * sqrt(2.0 / (sqrt((im * im) + (re * re)) - re)));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.0
Target33.1
Herbie23.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -3.48108190351588939e153

    1. Initial program 63.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6463.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary6463.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary6463.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified62.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    13. Simplified62.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]
    14. Using strategy rm

    15. Applied sqrt-undiv_binary6462.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

    16. Taylor expanded around -inf 8.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\color{blue}{-1 \cdot im} - re}}\right)\]

    17. Simplified8.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\color{blue}{\left(-im\right)} - re}}\right)\]

    if -3.48108190351588939e153 < im < -4.0656481177375301e-259 or 1.85531215096053838e-162 < im < 2.6357224810606306e116

    1. Initial program 26.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6436.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6436.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6436.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary6428.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary6428.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary6428.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary6428.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified26.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    13. Simplified26.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]
    14. Using strategy rm

    15. Applied sqrt-undiv_binary6426.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

    if -4.0656481177375301e-259 < im < 1.1743424555098952e-197 or 8.73156975190913269e-179 < im < 1.85531215096053838e-162

    1. Initial program 43.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 1.1743424555098952e-197 < im < 8.73156975190913269e-179 or 2.6357224810606306e116 < im

    1. Initial program 53.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 12.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification23.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.4810819035158894 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\left(-im\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -4.06564811773753 \cdot 10^{-259}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1743424555098952 \cdot 10^{-197}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.731569751909133 \cdot 10^{-179}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8553121509605384 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6357224810606306 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020224 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))