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Precision: binary64
\[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.0190895301535234 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -8.006226079427904 \cdot 10^{-185}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.2580037546917335 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\frac{\log im}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.3742910823838554 \cdot 10^{-270}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.9152423703811223 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;\log im \cdot \frac{1}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 7.776536635168688 \cdot 10^{+145}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\log base} \cdot \log re\\ \end{array}\]
\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.0190895301535234 \cdot 10^{+121}:\\
\;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log base}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -8.006226079427904 \cdot 10^{-185}:\\
\;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -3.2580037546917335 \cdot 10^{-305}:\\
\;\;\;\;\frac{\log im}{\log base}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 3.3742910823838554 \cdot 10^{-270}:\\
\;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 3.9152423703811223 \cdot 10^{-165}:\\
\;\;\;\;\log im \cdot \frac{1}{\log base}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 7.776536635168688 \cdot 10^{+145}:\\
\;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{1}{\log base} \cdot \log re\\

\end{array}
(FPCore (re im base)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* (log (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) (log base)) (* (atan2 im re) 0.0))
  (+ (* (log base) (log base)) (* 0.0 0.0))))
↓
(FPCore (re im base)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.0190895301535234e+121)
   (/ (log (- re)) (log base))
   (if (<= re -8.006226079427904e-185)
     (/
      (log
       (*
        (pow (+ (* re re) (* im im)) 0.3333333333333333)
        (cbrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))))
      (log base))
     (if (<= re -3.2580037546917335e-305)
       (/ (log im) (log base))
       (if (<= re 3.3742910823838554e-270)
         (/
          (log
           (*
            (pow (+ (* re re) (* im im)) 0.3333333333333333)
            (cbrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))))
          (log base))
         (if (<= re 3.9152423703811223e-165)
           (* (log im) (/ 1.0 (log base)))
           (if (<= re 7.776536635168688e+145)
             (/
              (log
               (*
                (pow (+ (* re re) (* im im)) 0.3333333333333333)
                (cbrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))))
              (log base))
             (* (/ 1.0 (log base)) (log re)))))))))
double code(double re, double im, double base) {
	return ((log(sqrt((re * re) + (im * im))) * log(base)) + (atan2(im, re) * 0.0)) / ((log(base) * log(base)) + (0.0 * 0.0));
}
↓
double code(double re, double im, double base) {
	double tmp;
	if (re <= -1.0190895301535234e+121) {
		tmp = log(-re) / log(base);
	} else if (re <= -8.006226079427904e-185) {
		tmp = log(pow(((re * re) + (im * im)), 0.3333333333333333) * cbrt(sqrt((re * re) + (im * im)))) / log(base);
	} else if (re <= -3.2580037546917335e-305) {
		tmp = log(im) / log(base);
	} else if (re <= 3.3742910823838554e-270) {
		tmp = log(pow(((re * re) + (im * im)), 0.3333333333333333) * cbrt(sqrt((re * re) + (im * im)))) / log(base);
	} else if (re <= 3.9152423703811223e-165) {
		tmp = log(im) * (1.0 / log(base));
	} else if (re <= 7.776536635168688e+145) {
		tmp = log(pow(((re * re) + (im * im)), 0.3333333333333333) * cbrt(sqrt((re * re) + (im * im)))) / log(base);
	} else {
		tmp = (1.0 / log(base)) * log(re);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Bits error versus base

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.01908953015352341e121

    1. Initial program 56.1

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

    2. Simplified56.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base}}\]

    3. Taylor expanded around -inf 8.2

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(-1 \cdot re\right)}}{\log base}\]

    4. Simplified8.2

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(-re\right)}}{\log base}\]

    if -1.01908953015352341e121 < re < -8.00622607942790387e-185 or -3.2580037546917335e-305 < re < 3.37429108238385545e-270 or 3.91524237038112229e-165 < re < 7.776536635168688e145

    1. Initial program 18.0

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

    2. Simplified17.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-cube-cbrt_binary6417.9

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}{\log base}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied pow1/3_binary6417.9

      \[\leadsto \frac{\log \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\]

    7. Applied pow1/3_binary6417.9

      \[\leadsto \frac{\log \left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\]

    8. Applied pow-prod-down_binary6417.9

      \[\leadsto \frac{\log \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\]

    9. Simplified17.9

      \[\leadsto \frac{\log \left({\color{blue}{\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\]

    if -8.00622607942790387e-185 < re < -3.2580037546917335e-305

    1. Initial program 31.3

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

    2. Simplified31.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base}}\]

    3. Taylor expanded around 0 32.4

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{im}}{\log base}\]

    if 3.37429108238385545e-270 < re < 3.91524237038112229e-165

    1. Initial program 30.8

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

    2. Simplified30.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied div-inv_binary6430.7

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \frac{1}{\log base}}\]

    5. Taylor expanded around 0 35.0

      \[\leadsto \log \color{blue}{im} \cdot \frac{1}{\log base}\]

    if 7.776536635168688e145 < re

    1. Initial program 61.5

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \log base + \tan^{-1}_* \frac{im}{re} \cdot 0}{\log base \cdot \log base + 0 \cdot 0}\]

    2. Simplified61.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log base}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied div-inv_binary6461.5

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \frac{1}{\log base}}\]

    5. Taylor expanded around inf 6.8

      \[\leadsto \log \color{blue}{re} \cdot \frac{1}{\log base}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification17.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.0190895301535234 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -8.006226079427904 \cdot 10^{-185}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.2580037546917335 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\frac{\log im}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.3742910823838554 \cdot 10^{-270}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.9152423703811223 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;\log im \cdot \frac{1}{\log base}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 7.776536635168688 \cdot 10^{+145}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log base}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\log base} \cdot \log re\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020220 
(FPCore (re im base)
  :name "math.log/2 on complex, real part"
  :precision binary64
  (/ (+ (* (log (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) (log base)) (* (atan2 im re) 0.0)) (+ (* (log base) (log base)) (* 0.0 0.0))))