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Precision: binary64
\[x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}\]
↓
\[x \cdot \left({\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}\right)\]
x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}
↓
x \cdot \left({\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}\right)
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (* x (exp (+ (* y (- (log z) t)) (* a (- (log (- 1.0 z)) b))))))
↓
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   (pow
    (sqrt E)
    (+
     (* y (- (log z) t))
     (* a (- (* z (- -1.0 (* z (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5)))) b))))
   (pow
    (sqrt E)
    (+
     (* y (- (log z) t))
     (* a (- (* z (- -1.0 (* z (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5)))) b)))))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return x * exp((y * (log(z) - t)) + (a * (log(1.0 - z) - b)));
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return x * (pow(sqrt((double) M_E), ((y * (log(z) - t)) + (a * ((z * (-1.0 - (z * ((z * 0.3333333333333333) + 0.5)))) - b)))) * pow(sqrt((double) M_E), ((y * (log(z) - t)) + (a * ((z * (-1.0 - (z * ((z * 0.3333333333333333) + 0.5)))) - b)))));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

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Derivation

  1. Initial program 2.1

    \[x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}\]

  2. Taylor expanded around 0 0.5

    \[\leadsto x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\color{blue}{\left(-\left(z + \left(0.3333333333333333 \cdot {z}^{3} + 0.5 \cdot {z}^{2}\right)\right)\right)} - b\right)}\]

  3. Simplified0.5

    \[\leadsto x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)} - b\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied *-un-lft-identity_binary640.5

    \[\leadsto x \cdot e^{\color{blue}{1 \cdot \left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}}\]

  6. Applied exp-prod_binary640.5

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}}\]

  7. Simplified0.5

    \[\leadsto x \cdot {\color{blue}{e}}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied add-sqr-sqrt_binary640.5

    \[\leadsto x \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{e} \cdot \sqrt{e}\right)}}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}\]

  10. Applied unpow-prod-down_binary640.5

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}\right)}\]

  11. Simplified0.5

    \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}} \cdot {\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}\right)\]

  12. Simplified0.5

    \[\leadsto x \cdot \left({\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}}\right)\]

  13. Final simplification0.5

    \[\leadsto x \cdot \left({\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020220 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Numeric.SpecFunctions:incompleteBetaApprox from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64
  (* x (exp (+ (* y (- (log z) t)) (* a (- (log (- 1.0 z)) b))))))