Average Error: 7.2 → 0.4
Time: 4.4s
Precision: binary64
\[\left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]
↓
\[\left(\left(\left(x - 1\right) \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right) + \left(x - 1\right) \cdot \log \left({y}^{0.3333333333333333}\right)\right) + \left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) \cdot \left(1 - z\right)\right) - t\]
\left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t
↓
\left(\left(\left(x - 1\right) \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right) + \left(x - 1\right) \cdot \log \left({y}^{0.3333333333333333}\right)\right) + \left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) \cdot \left(1 - z\right)\right) - t
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (- (+ (* (- x 1.0) (log y)) (* (- z 1.0) (log (- 1.0 y)))) t))
↓
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (-
  (+
   (+
    (* (- x 1.0) (* 2.0 (log (cbrt y))))
    (* (- x 1.0) (log (pow y 0.3333333333333333))))
   (* (+ y (* (* y y) (+ (* y 0.3333333333333333) 0.5))) (- 1.0 z)))
  t))
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((x - 1.0) * log(y)) + ((z - 1.0) * log(1.0 - y))) - t;
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((((x - 1.0) * (2.0 * log(cbrt(y)))) + ((x - 1.0) * log(pow(y, 0.3333333333333333)))) + ((y + ((y * y) * ((y * 0.3333333333333333) + 0.5))) * (1.0 - z))) - t;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 7.2

    \[\left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

  2. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.3333333333333333 \cdot {y}^{3} + \left(0.5 \cdot {y}^{2} + y\right)\right)\right)}\right) - t\]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-y\right) - \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)}\right) - t\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-cube-cbrt_binary640.3

    \[\leadsto \left(\left(x - 1\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) \cdot \sqrt[3]{y}\right)} + \left(z - 1\right) \cdot \left(\left(-y\right) - \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right) - t\]

  6. Applied log-prod_binary640.4

    \[\leadsto \left(\left(x - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) + \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right)} + \left(z - 1\right) \cdot \left(\left(-y\right) - \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right) - t\]

  7. Applied distribute-lft-in_binary640.4

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(x - 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) + \left(x - 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right)} + \left(z - 1\right) \cdot \left(\left(-y\right) - \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right) - t\]

  8. Simplified0.4

    \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(x - 1\right) \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right)} + \left(x - 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right) + \left(z - 1\right) \cdot \left(\left(-y\right) - \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right) - t\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied pow1/3_binary640.4

    \[\leadsto \left(\left(\left(x - 1\right) \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right) + \left(x - 1\right) \cdot \log \color{blue}{\left({y}^{0.3333333333333333}\right)}\right) + \left(z - 1\right) \cdot \left(\left(-y\right) - \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right) - t\]

  11. Final simplification0.4

    \[\leadsto \left(\left(\left(x - 1\right) \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right) + \left(x - 1\right) \cdot \log \left({y}^{0.3333333333333333}\right)\right) + \left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) \cdot \left(1 - z\right)\right) - t\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020220 
(FPCore (x y z t)
  :name "Statistics.Distribution.Beta:$cdensity from math-functions-0.1.5.2"
  :precision binary64
  (- (+ (* (- x 1.0) (log y)) (* (- z 1.0) (log (- 1.0 y)))) t))