Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, I

Average Error: 3.7 → 2.6

Time: 15.7s

Precision: binary64

Math

\[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq -6.768047101784082 \cdot 10^{+24} \lor \neg \left(t \leq 1.1020250707256974 \cdot 10^{-304}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z}{\sqrt[3]{t} \cdot \sqrt[3]{t}} \cdot \frac{\sqrt{t + a}}{\sqrt[3]{t}} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot \left(t \cdot \left(a + 0.8333333333333334\right)\right) - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}{t \cdot \left(t \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)}\right)}}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (/
  x
  (+
   x
   (*
    y
    (exp
     (*
      2.0
      (-
       (/ (* z (sqrt (+ t a))) t)
       (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0)))))))))))

↓

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (if (or (<= t -6.768047101784082e+24) (not (<= t 1.1020250707256974e-304)))
   (/
    x
    (+
     x
     (*
      y
      (pow
       (exp 2.0)
       (-
        (* (/ z (* (cbrt t) (cbrt t))) (/ (sqrt (+ t a)) (cbrt t)))
        (* (- b c) (- (+ a 0.8333333333333334) (/ 0.6666666666666666 t))))))))
   (/
    x
    (+
     x
     (*
      y
      (pow
       (exp 2.0)
       (/
        (*
         t
         (-
          (* (* z (sqrt (+ t a))) (- a 0.8333333333333334))
          (*
           (- b c)
           (-
            (* (- a 0.8333333333333334) (* t (+ a 0.8333333333333334)))
            (* 0.6666666666666666 (- a 0.8333333333333334))))))
        (* t (* t (- a 0.8333333333333334))))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	return x / (x + (y * exp(2.0 * (((z * sqrt(t + a)) / t) - ((b - c) * ((a + (5.0 / 6.0)) - (2.0 / (t * 3.0))))))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if ((t <= -6.768047101784082e+24) || !(t <= 1.1020250707256974e-304)) {
		tmp = x / (x + (y * pow(exp(2.0), (((z / (cbrt(t) * cbrt(t))) * (sqrt(t + a) / cbrt(t))) - ((b - c) * ((a + 0.8333333333333334) - (0.6666666666666666 / t)))))));
	} else {
		tmp = x / (x + (y * pow(exp(2.0), ((t * (((z * sqrt(t + a)) * (a - 0.8333333333333334)) - ((b - c) * (((a - 0.8333333333333334) * (t * (a + 0.8333333333333334))) - (0.6666666666666666 * (a - 0.8333333333333334)))))) / (t * (t * (a - 0.8333333333333334)))))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Target

Original	3.7
Target	3.1
Herbie	2.6

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -2.118326644891581 \cdot 10^{-50}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\left(a \cdot c + 0.8333333333333334 \cdot c\right) - a \cdot b\right)}}\\ \mathbf{elif}\;t < 5.196588770651547 \cdot 10^{-123}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \frac{\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot t\right) \cdot \left(a - \frac{5}{6}\right)\right) - \left(\left(\frac{5}{6} + a\right) \cdot \left(3 \cdot t\right) - 2\right) \cdot \left(\left(a - \frac{5}{6}\right) \cdot \left(\left(b - c\right) \cdot t\right)\right)}{\left(\left(t \cdot t\right) \cdot 3\right) \cdot \left(a - \frac{5}{6}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < -6.76804710178408219e24 or 1.10202507072569738e-304 < t

   1. Initial program 3.1

      \[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}}\]

   2. Simplified 3.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}\right)\right)}}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-cube-cbrt_binary64 3.1

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{t} \cdot \sqrt[3]{t}\right) \cdot \sqrt[3]{t}}} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}\right)\right)}}\]

   5. Applied times-frac_binary64 1.6

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\color{blue}{\frac{z}{\sqrt[3]{t} \cdot \sqrt[3]{t}} \cdot \frac{\sqrt{t + a}}{\sqrt[3]{t}}} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}\right)\right)}}\]

   if -6.76804710178408219e24 < t < 1.10202507072569738e-304

   1. Initial program 6.2

      \[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}}\]

   2. Simplified 6.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}\right)\right)}}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip-+_binary64 8.2

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{a \cdot a - 0.8333333333333334 \cdot 0.8333333333333334}{a - 0.8333333333333334}} - \frac{0.6666666666666666}{t}\right)\right)}}\]

   5. Applied frac-sub_binary64 8.3

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(a \cdot a - 0.8333333333333334 \cdot 0.8333333333333334\right) \cdot t - \left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot 0.6666666666666666}{\left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot t}}\right)}}\]

   6. Applied associate-*r/_binary64 8.4

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \color{blue}{\frac{\left(b - c\right) \cdot \left(\left(a \cdot a - 0.8333333333333334 \cdot 0.8333333333333334\right) \cdot t - \left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}{\left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot t}}\right)}}\]

   7. Applied frac-sub_binary64 6.5

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(\left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot t\right) - t \cdot \left(\left(b - c\right) \cdot \left(\left(a \cdot a - 0.8333333333333334 \cdot 0.8333333333333334\right) \cdot t - \left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{t \cdot \left(\left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot t\right)}\right)}}}\]

   8. Simplified 8.2

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(t \cdot \left(a \cdot a - 0.6944444444444444\right) - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}}{t \cdot \left(\left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot t\right)}\right)}}\]

   9. Simplified 8.2

      \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(t \cdot \left(a \cdot a - 0.6944444444444444\right) - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}{\color{blue}{t \cdot \left(t \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)}}\right)}}\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied add-sqr-sqrt_binary64 8.2

       \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(t \cdot \left(a \cdot a - \color{blue}{\sqrt{0.6944444444444444} \cdot \sqrt{0.6944444444444444}}\right) - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}{t \cdot \left(t \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)}\right)}}\]

   12. Applied difference-of-squares_binary64 8.2

       \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\left(\left(a + \sqrt{0.6944444444444444}\right) \cdot \left(a - \sqrt{0.6944444444444444}\right)\right)} - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}{t \cdot \left(t \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)}\right)}}\]

   13. Applied associate-*r*_binary64 6.8

       \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(t \cdot \left(a + \sqrt{0.6944444444444444}\right)\right) \cdot \left(a - \sqrt{0.6944444444444444}\right)} - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}{t \cdot \left(t \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)}\right)}}\]

   14. Simplified 6.8

       \[\leadsto \frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(t \cdot \left(a + 0.8333333333333334\right)\right)} \cdot \left(a - \sqrt{0.6944444444444444}\right) - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}{t \cdot \left(t \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)}\right)}}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 2.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq -6.768047101784082 \cdot 10^{+24} \lor \neg \left(t \leq 1.1020250707256974 \cdot 10^{-304}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{z}{\sqrt[3]{t} \cdot \sqrt[3]{t}} \cdot \frac{\sqrt{t + a}}{\sqrt[3]{t}} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + 0.8333333333333334\right) - \frac{0.6666666666666666}{t}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{t \cdot \left(\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right) - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a - 0.8333333333333334\right) \cdot \left(t \cdot \left(a + 0.8333333333333334\right)\right) - 0.6666666666666666 \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)\right)}{t \cdot \left(t \cdot \left(a - 0.8333333333333334\right)\right)}\right)}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020219 
(FPCore (x y z t a b c)
  :name "Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, I"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -2.118326644891581e-50) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (+ (* a c) (* 0.8333333333333334 c)) (* a b))))))) (if (< t 5.196588770651547e-123) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (/ (- (* (* z (sqrt (+ t a))) (* (* 3.0 t) (- a (/ 5.0 6.0)))) (* (- (* (+ (/ 5.0 6.0) a) (* 3.0 t)) 2.0) (* (- a (/ 5.0 6.0)) (* (- b c) t)))) (* (* (* t t) 3.0) (- a (/ 5.0 6.0))))))))) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (/ (* z (sqrt (+ t a))) t) (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0))))))))))))

  (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (/ (* z (sqrt (+ t a))) t) (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0)))))))))))