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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3234464689827902 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.0878830972405194 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.3234464689827902 \cdot 10^{-301}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 5.0878830972405194 \cdot 10^{+128}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.3234464689827902e-301)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re)))))
   (if (<= re 5.0878830972405194e+128)
     (*
      0.5
      (sqrt
       (*
        2.0
        (+
         re
         (*
          (sqrt (sqrt (+ (* im im) (* re re))))
          (sqrt (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))))
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re)))))))
double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((re <= -1.3234464689827902e-301)) {
		tmp = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * (((double) (im * im)) / ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))) - re)))))))));
	} else {
		double tmp_1;
		if ((re <= 5.0878830972405194e+128)) {
			tmp_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) (((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))))) * ((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re))))))))))))))))));
		} else {
			tmp_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + re))))))));
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original39.1
Target34.1
Herbie26.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -1.32344646898279018e-301

    1. Initial program 46.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6445.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.32344646898279018e-301 < re < 5.0878830972405194e128

    1. Initial program 21.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary6421.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod_binary6421.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 5.0878830972405194e128 < re

    1. Initial program 57.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 7.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3234464689827902 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.0878830972405194 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020219 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))