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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.8219756175958796 \cdot 10^{-298}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.3032785344699448 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.98296718739982 \cdot 10^{-254} \lor \neg \left(re \leq 1.665166823165376 \cdot 10^{+136}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.8219756175958796 \cdot 10^{-298}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.3032785344699448 \cdot 10^{-275}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 3.98296718739982 \cdot 10^{-254} \lor \neg \left(re \leq 1.665166823165376 \cdot 10^{+136}\right):\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.8219756175958796e-298)
   (*
    0.5
    (/ (sqrt (* (* im im) 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
   (if (<= re 1.3032785344699448e-275)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re im))))
     (if (or (<= re 3.98296718739982e-254)
             (not (<= re 1.665166823165376e+136)))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))
       (*
        0.5
        (sqrt
         (*
          2.0
          (+
           re
           (*
            (sqrt (sqrt (+ (* im im) (* re re))))
            (sqrt (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))))))))
double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((re <= -1.8219756175958796e-298)) {
		tmp = ((double) (0.5 * (((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) * 2.0)))) / ((double) sqrt(((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))) - re)))))));
	} else {
		double tmp_1;
		if ((re <= 1.3032785344699448e-275)) {
			tmp_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + im))))))));
		} else {
			double tmp_2;
			if (((re <= 3.98296718739982e-254) || !(re <= 1.665166823165376e+136))) {
				tmp_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + re))))))));
			} else {
				tmp_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) (((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))))) * ((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re))))))))))))))))));
			}
			tmp_1 = tmp_2;
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original39.0
Target34.1
Herbie26.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.82197561759587964e-298

    1. Initial program 45.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6445.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6445.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6445.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified35.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.82197561759587964e-298 < re < 1.3032785344699448e-275

    1. Initial program 31.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 1.3032785344699448e-275 < re < 3.9829671873998199e-254 or 1.6651668231653761e136 < re

    1. Initial program 56.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 13.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 3.9829671873998199e-254 < re < 1.6651668231653761e136

    1. Initial program 19.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary6419.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod_binary6419.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification26.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.8219756175958796 \cdot 10^{-298}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.3032785344699448 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.98296718739982 \cdot 10^{-254} \lor \neg \left(re \leq 1.665166823165376 \cdot 10^{+136}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020210 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))