Average Error: 43.3 → 0.8
Time: 8.5s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[im \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot -2\right) + 0.5 \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\]
\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
im \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot -2\right) + 0.5 \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+
  (* im (* (* 0.5 (sin re)) -2.0))
  (*
   0.5
   (*
    (sin re)
    (+
     (* -0.3333333333333333 (pow im 3.0))
     (* (pow im 5.0) -0.016666666666666666))))))
double code(double re, double im) {
	return ((double) (((double) (0.5 * ((double) sin(re)))) * ((double) (((double) exp(((double) -(im)))) - ((double) exp(im))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return ((double) (((double) (im * ((double) (((double) (0.5 * ((double) sin(re)))) * -2.0)))) + ((double) (0.5 * ((double) (((double) sin(re)) * ((double) (((double) (-0.3333333333333333 * ((double) pow(im, 3.0)))) + ((double) (((double) pow(im, 5.0)) * -0.016666666666666666))))))))));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original43.3
Target0.2
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program Error: 43.3 bits

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 Error: 0.8 bits

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + \left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. SimplifiedError: 0.8 bits

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -2 + \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied distribute-lft-inError: 0.8 bits

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot -2\right) + \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)}\]

  6. SimplifiedError: 0.8 bits

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot -2\right)} + \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)\]

  7. SimplifiedError: 0.8 bits

    \[\leadsto im \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot -2\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)}\]

  8. Final simplificationError: 0.8 bits

    \[\leadsto im \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot -2\right) + 0.5 \cdot \left(\sin re \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + {im}^{5} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020204 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))