Average Error: 45.0 → 45.0
Time: 5.3s
Precision: binary64
\[\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(1 + \left(x \cdot y + z\right)\right)\]
↓
\[\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)}\right)\]
\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(1 + \left(x \cdot y + z\right)\right)
↓
\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)}\right)
(FPCore (x y z) :precision binary64 (- (fma x y z) (+ 1.0 (+ (* x y) z))))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (*
  (cbrt (- (fma x y z) (+ z (+ 1.0 (* x y)))))
  (*
   (cbrt (- (fma x y z) (+ z (+ 1.0 (* x y)))))
   (cbrt (- (fma x y z) (+ z (+ 1.0 (* x y))))))))
double code(double x, double y, double z) {
	return ((double) (((double) fma(x, y, z)) - ((double) (1.0 + ((double) (((double) (x * y)) + z))))));
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	return ((double) (((double) cbrt(((double) (((double) fma(x, y, z)) - ((double) (z + ((double) (1.0 + ((double) (x * y)))))))))) * ((double) (((double) cbrt(((double) (((double) fma(x, y, z)) - ((double) (z + ((double) (1.0 + ((double) (x * y)))))))))) * ((double) cbrt(((double) (((double) fma(x, y, z)) - ((double) (z + ((double) (1.0 + ((double) (x * y))))))))))))));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original45.0
Target0
Herbie45.0
\[-1\]

Derivation

  1. Initial program Error: 45.0 bits

    \[\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(1 + \left(x \cdot y + z\right)\right)\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-cube-cbrtError: 45.0 bits

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(1 + \left(x \cdot y + z\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(1 + \left(x \cdot y + z\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(1 + \left(x \cdot y + z\right)\right)}}\]

  4. SimplifiedError: 45.0 bits

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(1 + \left(x \cdot y + z\right)\right)}\]

  5. SimplifiedError: 45.0 bits

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)}}\]

  6. Final simplificationError: 45.0 bits

    \[\leadsto \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, y, z\right) - \left(z + \left(1 + x \cdot y\right)\right)}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020203 
(FPCore (x y z)
  :name "simple fma test"
  :precision binary64

  :herbie-target
  -1.0

  (- (fma x y z) (+ 1.0 (+ (* x y) z))))