math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2.8332709859495543 \cdot 10^{-201}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.1109892546767475 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.76894866017109 \cdot 10^{+68}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((im <= -2.8332709859495543e-201)) {
		VAR = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) (((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))) * ((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im))))))))))))))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((im <= 2.1109892546767475e-156)) {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + re))))))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((im <= 6.76894866017109e+68)) {
				VAR_2 = ((double) (0.5 * (((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (im * im)))))) / ((double) sqrt(((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) - re)))))));
			} else {
				VAR_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (im + re))))))));
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.0
Target	33.2
Herbie	29.3

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < -2.83327098594955429e-201

   1. Initial program 36.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 36.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   if -2.83327098594955429e-201 < im < 2.1109892546767475e-156

   1. Initial program 43.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 35.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

   if 2.1109892546767475e-156 < im < 6.7689486601710896e68

   1. Initial program 25.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 35.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/ 35.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div 35.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 25.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if 6.7689486601710896e68 < im

   1. Initial program 48.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 11.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 29.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2.8332709859495543 \cdot 10^{-201}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.1109892546767475 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.76894866017109 \cdot 10^{+68}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020199 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))