Average Error: 17.3 → 8.8
Time: 8.7s
Precision: binary64
\[\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot F} \cdot \tan \left(\pi \cdot \ell\right)\]
↓
\[\pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}\right)}{F}\]
\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot F} \cdot \tan \left(\pi \cdot \ell\right)
↓
\pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}\right)}{F}
double code(double F, double l) {
	return ((double) (((double) (((double) M_PI) * l)) - ((double) ((1.0 / ((double) (F * F))) * ((double) tan(((double) (((double) M_PI) * l))))))));
}
↓
double code(double F, double l) {
	return ((double) (((double) (((double) M_PI) * l)) - ((double) (1.0 * (((double) (((double) cbrt((1.0 / ((double) ((F / ((double) (((double) M_PI) * l))) + ((double) (F * ((double) (((double) (((double) M_PI) * l)) * -0.3333333333333333))))))))) * ((double) (((double) cbrt((1.0 / ((double) ((F / ((double) (((double) M_PI) * l))) + ((double) (F * ((double) (((double) (((double) M_PI) * l)) * -0.3333333333333333))))))))) * ((double) cbrt((1.0 / ((double) ((F / ((double) (((double) M_PI) * l))) + ((double) (F * ((double) (((double) (((double) M_PI) * l)) * -0.3333333333333333))))))))))))) / F)))));
}

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Bits error versus F

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Derivation

  1. Initial program 17.3

    \[\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot F} \cdot \tan \left(\pi \cdot \ell\right)\]

  2. Simplified17.0

    \[\leadsto \color{blue}{\pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\tan \left(\pi \cdot \ell\right)}{F \cdot F}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied associate-/r*12.9

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\tan \left(\pi \cdot \ell\right)}{F}}{F}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied clear-num12.9

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{F}{\tan \left(\pi \cdot \ell\right)}}}}{F}\]

  7. Taylor expanded around 0 8.6

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\frac{1}{\color{blue}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} - 0.3333333333333333 \cdot \left(F \cdot \left(\pi \cdot \ell\right)\right)}}}{F}\]

  8. Simplified8.6

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\frac{1}{\color{blue}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + \pi \cdot \left(\ell \cdot \left(F \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}}}{F}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied add-cube-cbrt8.8

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + \pi \cdot \left(\ell \cdot \left(F \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + \pi \cdot \left(\ell \cdot \left(F \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + \pi \cdot \left(\ell \cdot \left(F \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}}}}{F}\]

  11. Simplified8.8

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + \pi \cdot \left(\ell \cdot \left(F \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}}}{F}\]

  12. Simplified8.8

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}}}{F}\]

  13. Final simplification8.8

    \[\leadsto \pi \cdot \ell - 1 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{F}{\pi \cdot \ell} + F \cdot \left(\left(\pi \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}\right)}{F}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020198 
(FPCore (F l)
  :name "VandenBroeck and Keller, Equation (6)"
  :precision binary64
  (- (* PI l) (* (/ 1.0 (* F F)) (tan (* PI l)))))