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Precision: binary64
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.4420726088017006 \cdot 10^{-112} \lor \neg \left(y.re \leq 2.206658626264936 \cdot 10^{-10}\right):\\ \;\;\;\;\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \end{array}\]
\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;y.re \leq -3.4420726088017006 \cdot 10^{-112} \lor \neg \left(y.re \leq 2.206658626264936 \cdot 10^{-10}\right):\\
\;\;\;\;\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\

\end{array}
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))
↓
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (or (<= y.re -3.4420726088017006e-112)
         (not (<= y.re 2.206658626264936e-10)))
   (-
    (*
     (/ y.re (sqrt (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))
     (/ x.im (sqrt (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im)))))
    (* y.im (/ x.re (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im)))))
   (-
    (* y.re (/ x.im (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))
    (*
     (/ y.im (sqrt (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))
     (/ x.re (sqrt (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))))))
double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return (((double) (((double) (x_46_im * y_46_re)) - ((double) (x_46_re * y_46_im)))) / ((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im)))));
}
↓
double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double VAR;
	if (((y_46_re <= -3.4420726088017006e-112) || !(y_46_re <= 2.206658626264936e-10))) {
		VAR = ((double) (((double) ((y_46_re / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))))) * (x_46_im / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))))))) - ((double) (y_46_im * (x_46_re / ((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im)))))))));
	} else {
		VAR = ((double) (((double) (y_46_re * (x_46_im / ((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))))) - ((double) ((y_46_im / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))))) * (x_46_re / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im)))))))))));
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if y.re < -3.44207260880170059e-112 or 2.206658626264936e-10 < y.re

    1. Initial program 29.3

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied div-sub29.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    4. Simplified28.3

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    5. Simplified27.8

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \color{blue}{y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-sqr-sqrt27.8

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    8. Applied *-un-lft-identity27.8

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot x.im}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    9. Applied times-frac27.7

      \[\leadsto y.re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right)} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    10. Applied associate-*r*26.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right) \cdot \frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    11. Simplified26.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    if -3.44207260880170059e-112 < y.re < 2.206658626264936e-10

    1. Initial program 20.6

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied div-sub20.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    4. Simplified24.3

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    5. Simplified25.3

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \color{blue}{y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-sqr-sqrt25.3

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - y.im \cdot \frac{x.re}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    8. Applied *-un-lft-identity25.3

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - y.im \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot x.re}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    9. Applied times-frac25.3

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - y.im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right)}\]

    10. Applied associate-*r*21.9

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \color{blue}{\left(y.im \cdot \frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right) \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    11. Simplified21.8

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \color{blue}{\frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification24.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.4420726088017006 \cdot 10^{-112} \lor \neg \left(y.re \leq 2.206658626264936 \cdot 10^{-10}\right):\\ \;\;\;\;\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020198 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  :precision binary64
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))