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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.2574376283715415 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.9058779586404625 \cdot 10^{-253}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.4473385511353346 \cdot 10^{+135}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left|\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.2574376283715415 \cdot 10^{-137}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 2.9058779586404625 \cdot 10^{-253}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 3.4473385511353346 \cdot 10^{+135}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left|\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -1.2574376283715415e-137)) {
		VAR = ((double) (0.5 * (((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) * 2.0)))) / ((double) sqrt(((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))) - re)))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 2.9058779586404625e-253)) {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + im))))))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= 3.4473385511353346e+135)) {
				VAR_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) (((double) sqrt(((double) cbrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))))) * ((double) fabs(((double) (((double) sqrt(((double) cbrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))))) * ((double) sqrt(((double) cbrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re))))))))))))))))))))));
			} else {
				VAR_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + re))))))));
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.8
Target33.6
Herbie26.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.2574376283715415e-137

    1. Initial program 52.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+52.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/52.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div52.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified36.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.2574376283715415e-137 < re < 2.9058779586404625e-253

    1. Initial program 31.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 2.9058779586404625e-253 < re < 3.4473385511353346e135

    1. Initial program 19.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Simplified19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-sqr-sqrt19.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    if 3.4473385511353346e135 < re

    1. Initial program 58.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 7.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification26.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.2574376283715415 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.9058779586404625 \cdot 10^{-253}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.4473385511353346 \cdot 10^{+135}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left|\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020196 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))