NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 29.4 → 1.1

Time: 5.0s

Precision: binary64

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 464.350103573216245:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}{2 \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + {e}^{\left(x \cdot \left(\left(-1\right) - \varepsilon\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)}{2}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 464.350103573216245

   1. Initial program 39.0

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

   3. Simplified 1.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.66666666666666674 + \left(2 - 1 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-sqr-sqrt 2.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{{x}^{3} \cdot 0.66666666666666674 + \left(2 - 1 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{3} \cdot 0.66666666666666674 + \left(2 - 1 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}}{2}\]

   6. Simplified 2.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)}} \cdot \sqrt{{x}^{3} \cdot 0.66666666666666674 + \left(2 - 1 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2}\]

   7. Simplified 2.4

      \[\leadsto \frac{\sqrt{2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)}}}{2}\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied flip3-+ 2.4

      \[\leadsto \frac{\sqrt{2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}}{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}}}{2}\]

   10. Applied sqrt-div 2.4

       \[\leadsto \frac{\sqrt{2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}}}{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}}}{2}\]

   11. Applied flip3-+ 2.4

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\frac{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}}{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{\sqrt{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}}}{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}}{2}\]

   12. Applied sqrt-div 2.4

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}}}{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{\sqrt{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}}}{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}}{2}\]

   13. Applied frac-times 2.4

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}} \cdot \sqrt{{2}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)}^{3}}}{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}}}{2}\]

   14. Simplified 1.4

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}{\sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)\right)\right)}}}{2}\]

   15. Simplified 1.4

       \[\leadsto \frac{\frac{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}{\color{blue}{2 \cdot 2 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)}}}{2}\]
   16. Using strategy rm

   17. Applied *-un-lft-identity 1.4

       \[\leadsto \frac{\frac{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}{\color{blue}{1 \cdot \left(2 \cdot 2 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)\right)}}}{2}\]

   18. Applied add-cube-cbrt 1.4

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}\right) \cdot \sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}}{1 \cdot \left(2 \cdot 2 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)\right)}}{2}\]

   19. Applied times-frac 1.4

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}{2 \cdot 2 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)}}}{2}\]

   20. Simplified 1.4

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}{2 \cdot 2 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)}}{2}\]

   21. Simplified 1.4

       \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}{2 \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)\right)}}}{2}\]

   if 464.350103573216245 < x

   1. Initial program 0.1

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied *-un-lft-identity 0.1

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{\color{blue}{1 \cdot \left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}}{2}\]

   4. Applied exp-prod 0.1

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot \color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}}{2}\]

   5. Simplified 0.1

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot {\color{blue}{e}}^{\left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 464.350103573216245:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{{2}^{3} + {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3} \cdot {x}^{6}}}{2 \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) - 2\right)\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + {e}^{\left(x \cdot \left(\left(-1\right) - \varepsilon\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020185 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (neg (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (neg (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))