math.sqrt on complex, real part

Average Error: 38.5 → 24.7

Time: 4.8s

Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.7798394941061263 \cdot 10^{88}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\left(-im\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.0092151797972251 \cdot 10^{79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -8.1239314972499561 \cdot 10^{-104}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.581642780549371 \cdot 10^{-136}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -5.24621065630198204 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le -5.3433994538995521 \cdot 10^{-203}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\left(-im\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.53157918959232956 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 9.3195824141890304 \cdot 10^{-256}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.6256659982008955 \cdot 10^{-53}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.5
Target	33.3
Herbie	24.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 6 regimes

2. if im < -1.7798394941061263e88 or -5.24621065630198204e-170 < im < -5.3433994538995521e-203

   1. Initial program 49.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/ 51.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div 51.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 50.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity 50.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod 50.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod 50.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac 50.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 47.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 47.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

   14. Taylor expanded around -inf 14.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot im} - re}}\right)\]

   15. Simplified 14.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{\left(-im\right)} - re}}\right)\]

   if -1.7798394941061263e88 < im < -6.0092151797972251e79 or -8.1239314972499561e-104 < im < -6.581642780549371e-136 or -5.3433994538995521e-203 < im < 4.53157918959232956e-301 or 9.3195824141890304e-256 < im < 1.6256659982008955e-53

   1. Initial program 37.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

   if -6.0092151797972251e79 < im < -8.1239314972499561e-104

   1. Initial program 23.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 32.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/ 32.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div 32.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 24.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-undiv 24.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   9. Simplified 24.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}{im}}}}\]

   if -6.581642780549371e-136 < im < -5.24621065630198204e-170

   1. Initial program 34.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 53.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/ 53.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div 53.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 40.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity 40.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod 40.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod 40.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac 40.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 35.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 35.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied sqrt-undiv 35.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

   if 4.53157918959232956e-301 < im < 9.3195824141890304e-256

   1. Initial program 43.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 59.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/ 59.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div 59.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 50.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod 50.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   9. Simplified 37.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if 1.6256659982008955e-53 < im

   1. Initial program 39.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 17.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
3. Recombined 6 regimes into one program.

4. Final simplification 24.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.7798394941061263 \cdot 10^{88}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\left(-im\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.0092151797972251 \cdot 10^{79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -8.1239314972499561 \cdot 10^{-104}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.581642780549371 \cdot 10^{-136}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -5.24621065630198204 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le -5.3433994538995521 \cdot 10^{-203}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\left(-im\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.53157918959232956 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 9.3195824141890304 \cdot 10^{-256}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.6256659982008955 \cdot 10^{-53}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020185 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))