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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \le 5.641909553556236 \cdot 10^{75}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \le 0.0:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \le 5.641909553556236 \cdot 10^{75}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))))) <= 0.0)) {
		VAR = ((double) (0.5 * ((double) (((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (im * im)))))) / ((double) sqrt(((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) - re))))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))))) <= 5.641909553556236e+75)) {
			VAR_1 = ((double) (((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))))) * 0.5));
		} else {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + im))))))));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.8
Target33.4
Herbie25.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 0.0

    1. Initial program 57.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+57.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/57.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div57.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified26.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 0.0 < (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 5.641909553556236e75

    1. Initial program 4.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 5.641909553556236e75 < (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))

    1. Initial program 63.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification25.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \le 5.641909553556236 \cdot 10^{75}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020184 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))