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Precision: binary64
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le -6.181451911957164 \cdot 10^{293} \lor \neg \left(\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le 4.5387220413702261 \cdot 10^{-178}\right):\\ \;\;\;\;y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \end{array}\]
\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le -6.181451911957164 \cdot 10^{293} \lor \neg \left(\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le 4.5387220413702261 \cdot 10^{-178}\right):\\
\;\;\;\;y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\

\end{array}
double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return (((double) (((double) (x_46_im * y_46_re)) - ((double) (x_46_re * y_46_im)))) / ((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im)))));
}
↓
double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double VAR;
	if ((((((double) (((double) (x_46_im * y_46_re)) - ((double) (x_46_re * y_46_im)))) / ((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))) <= -6.1814519119571635e+293) || !((((double) (((double) (x_46_im * y_46_re)) - ((double) (x_46_re * y_46_im)))) / ((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))) <= 4.538722041370226e-178))) {
		VAR = ((double) (((double) (y_46_re * (x_46_im / ((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))))) - ((double) ((y_46_im / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))))) * (x_46_re / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im)))))))))));
	} else {
		VAR = ((double) ((1.0 / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im))))))) * (((double) (((double) (x_46_im * y_46_re)) - ((double) (x_46_re * y_46_im)))) / ((double) sqrt(((double) (((double) (y_46_re * y_46_re)) + ((double) (y_46_im * y_46_im)))))))));
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))) < -6.181451911957164e293 or 4.5387220413702261e-178 < (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im)))

    1. Initial program 39.2

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied div-sub39.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    4. Simplified37.4

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    5. Simplified34.9

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \color{blue}{y.im \cdot \frac{x.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-sqr-sqrt34.9

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - y.im \cdot \frac{x.re}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    8. Applied *-un-lft-identity34.9

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - y.im \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot x.re}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    9. Applied times-frac34.9

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - y.im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right)}\]

    10. Applied associate-*r*33.7

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \color{blue}{\left(y.im \cdot \frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right) \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    11. Simplified33.7

      \[\leadsto y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \color{blue}{\frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    if -6.181451911957164e293 < (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))) < 4.5387220413702261e-178

    1. Initial program 15.3

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt15.3

      \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    4. Applied *-un-lft-identity15.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im\right)}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    5. Applied times-frac15.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification24.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le -6.181451911957164 \cdot 10^{293} \lor \neg \left(\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le 4.5387220413702261 \cdot 10^{-178}\right):\\ \;\;\;\;y.re \cdot \frac{x.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020182 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  :precision binary64
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))