Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3

Average Error: 12.8 → 10.2

Time: 16.2s

Precision: binary64

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Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;j \le -4.10214581621352369 \cdot 10^{-60}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(y \cdot z\right) \cdot x + \left(-a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\\ \mathbf{elif}\;j \le 7.5250099131414384 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{z} \cdot \left(b \cdot c\right)\right) + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + \left(t \cdot \left(j \cdot c\right) + \left(-i \cdot \left(j \cdot y\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.8
Target	16.6
Herbie	10.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \lt -8.1209789191959122 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t \lt -4.7125538182184851 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{elif}\;t \lt -7.63353334603158369 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t \lt 1.0535888557455487 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if j < -4.10214581621352369e-60

   1. Initial program 8.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 8.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot z + \left(-t \cdot a\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   4. Applied distribute-lft-in 8.7

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   5. Simplified 8.7

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(y \cdot z\right) \cdot x} + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   6. Simplified 9.4

      \[\leadsto \left(\left(\left(y \cdot z\right) \cdot x + \color{blue}{\left(-a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)}\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   if -4.10214581621352369e-60 < j < 7.5250099131414384e-56

   1. Initial program 17.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 17.2

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-i \cdot a\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   4. Applied distribute-lft-in 17.2

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-i \cdot a\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   5. Simplified 17.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{z \cdot \left(b \cdot c\right)} + b \cdot \left(-i \cdot a\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied distribute-rgt-neg-out 17.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \color{blue}{\left(-b \cdot \left(i \cdot a\right)\right)}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   8. Simplified 17.3

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-\color{blue}{a \cdot \left(i \cdot b\right)}\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied add-cube-cbrt 17.4

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \sqrt[3]{z}\right)} \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   11. Applied associate-*l* 17.4

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{z} \cdot \left(b \cdot c\right)\right)} + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied sub-neg 17.4

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{z} \cdot \left(b \cdot c\right)\right) + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + j \cdot \color{blue}{\left(c \cdot t + \left(-i \cdot y\right)\right)}\]

   14. Applied distribute-lft-in 17.4

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{z} \cdot \left(b \cdot c\right)\right) + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(j \cdot \left(c \cdot t\right) + j \cdot \left(-i \cdot y\right)\right)}\]

   15. Simplified 14.5

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{z} \cdot \left(b \cdot c\right)\right) + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + \left(\color{blue}{t \cdot \left(j \cdot c\right)} + j \cdot \left(-i \cdot y\right)\right)\]

   16. Simplified 11.8

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{z} \cdot \left(b \cdot c\right)\right) + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + \left(t \cdot \left(j \cdot c\right) + \color{blue}{\left(-i \cdot \left(j \cdot y\right)\right)}\right)\]

   if 7.5250099131414384e-56 < j

   1. Initial program 7.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 7.9

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-i \cdot a\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   4. Applied distribute-lft-in 7.9

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-i \cdot a\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   5. Simplified 7.8

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{z \cdot \left(b \cdot c\right)} + b \cdot \left(-i \cdot a\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied distribute-rgt-neg-out 7.8

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \color{blue}{\left(-b \cdot \left(i \cdot a\right)\right)}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   8. Simplified 7.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-\color{blue}{a \cdot \left(i \cdot b\right)}\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied add-cube-cbrt 7.8

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \sqrt[3]{a}\right)} \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   11. Applied associate-*l* 7.8

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \left(i \cdot b\right)\right)}\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 10.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;j \le -4.10214581621352369 \cdot 10^{-60}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(y \cdot z\right) \cdot x + \left(-a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\\ \mathbf{elif}\;j \le 7.5250099131414384 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{z} \cdot \left(b \cdot c\right)\right) + \left(-a \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right) + \left(t \cdot \left(j \cdot c\right) + \left(-i \cdot \left(j \cdot y\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \left(i \cdot b\right)\right)\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020182 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -8.120978919195912e-33) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t -4.712553818218485e-169) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (if (< t -7.633533346031584e-308) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t 1.0535888557455487e-139) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j)))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (* j (- (* c t) (* i y)))))