NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 29.7 → 0.9

Time: 5.2s

Precision: binary64

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 7.91027905227570916:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}\right)}}{\sqrt[3]{1 \cdot 1 + x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 + 1\right)\right)}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}}\right) - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{x \cdot \left(-\left(1 + \varepsilon\right)\right)}}{2}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 7.91027905227570916

   1. Initial program 39.4

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

   3. Simplified 1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}}{2}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-cbrt-cube 1.0

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}}}{2}\]

   6. Applied add-cbrt-cube 1.0

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(x \cdot x\right) \cdot x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}}{2}\]

   7. Applied add-cbrt-cube 1.0

      \[\leadsto \frac{2 + \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x \cdot x\right) \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\left(x \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}}{2}\]

   8. Applied cbrt-unprod 1.0

      \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}}{2}\]

   9. Applied cbrt-unprod 1.0

      \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)\right)}}}{2}\]

   10. Simplified 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}}}{2}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied add-cube-cbrt 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}}}}{2}\]
   13. Using strategy rm

   14. Applied flip3-- 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\color{blue}{\left(\frac{{\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}}{\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 1\right)}\right)}}^{3}}}}{2}\]

   15. Applied cube-div 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot \color{blue}{\frac{{\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}{{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 1\right)\right)}^{3}}}}}}{2}\]

   16. Applied associate-*r/ 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}{{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 1\right)\right)}^{3}}}}}}{2}\]

   17. Applied cbrt-div 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 1\right)\right)}^{3}}}}}}{2}\]

   18. Applied associate-*r/ 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 1\right)\right)}^{3}}}}}}{2}\]

   19. Applied cbrt-div 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}}}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 1\right)\right)}^{3}}}}}}{2}\]

   20. Simplified 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}\right)}}}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{\left(\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 1\right)\right)}^{3}}}}}{2}\]

   21. Simplified 1.0

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}\right)}}{\color{blue}{\sqrt[3]{1 \cdot 1 + x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 + 1\right)\right)}}}}{2}\]

   if 7.91027905227570916 < x

   1. Initial program 0.5

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 0.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   4. Simplified 0.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   5. Simplified 0.5

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.9

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 7.91027905227570916:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{6} \cdot {\left({\left(x \cdot 0.66666666666666674\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}^{3}}\right)}}{\sqrt[3]{1 \cdot 1 + x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 + 1\right)\right)}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{{\left(e^{1 - \varepsilon}\right)}^{x}}}\right) - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{x \cdot \left(-\left(1 + \varepsilon\right)\right)}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020181 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (neg (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (neg (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))