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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.479484992586778 \cdot 10^{-302}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.40954284696244225 \cdot 10^{95}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -7.479484992586778 \cdot 10^{-302}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 2.40954284696244225 \cdot 10^{95}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -7.479484992586778e-302)) {
		VAR = ((double) (0.5 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) * 2.0)))) / ((double) sqrt(((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))) - re))))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 2.4095428469624423e+95)) {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + ((double) (((double) (((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))))) * ((double) sqrt(((double) fabs(((double) cbrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re)))))))))))) * ((double) sqrt(((double) sqrt(((double) cbrt(((double) (((double) (im * im)) + ((double) (re * re))))))))))))))))))));
		} else {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + re))))))));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.8
Target33.6
Herbie26.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -7.479484992586778e-302

    1. Initial program 46.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+46.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/46.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div46.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified35.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -7.479484992586778e-302 < re < 2.40954284696244225e95

    1. Initial program 20.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt20.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*r*21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    10. Simplified21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 2.40954284696244225e95 < re

    1. Initial program 50.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.479484992586778 \cdot 10^{-302}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.40954284696244225 \cdot 10^{95}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020179 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))