NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 29.9 → 1.0

Time: 5.1s

Precision: binary64

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 246.92990390970124:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left({\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right)\right)}^{3} - {\left(1 \cdot 1\right)}^{3}\right)\right)}{\left(1 + x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left({1}^{4} + \left(x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{x \cdot \left(-\left(1 + \varepsilon\right)\right)}}{2}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 246.92990390970124

   1. Initial program 39.7

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

   3. Simplified 1.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674 - 1\right)}}{2}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip-- 1.2

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) - 1 \cdot 1}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}}{2}\]

   6. Applied associate-*r/ 1.2

      \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right) - 1 \cdot 1\right)}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}}{2}\]

   7. Simplified 1.2

      \[\leadsto \frac{2 + \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot 0.66666666666666674\right)\right) - 1 \cdot 1\right)\right)}}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}{2}\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied add-cube-cbrt 1.2

      \[\leadsto \frac{2 + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot 0.66666666666666674\right)\right) - 1 \cdot 1\right)\right)}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}{2}\]

   10. Applied associate-*l* 1.2

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right)} - 1 \cdot 1\right)\right)}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}{2}\]

   11. Simplified 1.2

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}\right) - 1 \cdot 1\right)\right)}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}{2}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied flip3-- 1.2

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right)}^{3} - {\left(1 \cdot 1\right)}^{3}}{\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) + \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}}\right)}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}{2}\]

   14. Applied associate-*r/ 1.2

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{x \cdot \left({\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right)}^{3} - {\left(1 \cdot 1\right)}^{3}\right)}{\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) + \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}}}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}{2}\]

   15. Applied associate-*r/ 1.2

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left({\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right)}^{3} - {\left(1 \cdot 1\right)}^{3}\right)\right)}{\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) + \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}}}{x \cdot 0.66666666666666674 + 1}}{2}\]

   16. Applied associate-/l/ 1.2

       \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left({\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right)}^{3} - {\left(1 \cdot 1\right)}^{3}\right)\right)}{\left(x \cdot 0.66666666666666674 + 1\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) + \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)\right)}}}{2}\]

   17. Simplified 1.2

       \[\leadsto \frac{2 + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left({\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right)}^{3} - {\left(1 \cdot 1\right)}^{3}\right)\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left({1}^{4} + \left(x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right)\right) + 1 \cdot 1\right)\right)}}}{2}\]

   if 246.92990390970124 < x

   1. Initial program 0.2

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied exp-neg 0.2

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   4. Applied un-div-inv 0.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 246.92990390970124:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left({\left(x \cdot \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right)\right)}^{3} - {\left(1 \cdot 1\right)}^{3}\right)\right)}{\left(1 + x \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left({1}^{4} + \left(x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + x \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot \left(x \cdot 0.66666666666666674\right)\right)\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{x \cdot \left(-\left(1 + \varepsilon\right)\right)}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020179 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (neg (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (neg (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))