Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

Average Error: 12.2 → 8.8

Time: 22.7s

Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;j \le -1.1329614540433217 \cdot 10^{-41} \lor \neg \left(j \le 1.7747111683562279 \cdot 10^{26}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + t \cdot \left(i \cdot \left(-b\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot \left(x \cdot z\right) + a \cdot \left(x \cdot \left(-t\right)\right)\right) + \left(\left(c \cdot \left(j \cdot a\right) + i \cdot \left(j \cdot \left(-y\right)\right)\right) - \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i} \cdot \left(b \cdot \left(\sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i} \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.2
Target	19.9
Herbie	8.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.46969429677770502 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if j < -1.1329614540433217e-41 or 1.7747111683562279e26 < j

   1. Initial program 7.8

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   2. Simplified 7.8

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied sub-neg 7.8

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \color{blue}{\left(z \cdot c + \left(-t \cdot i\right)\right)}\right)\]

   5. Applied distribute-lft-in 7.8

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(z \cdot c\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)}\right)\]

   6. Simplified 8.4

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \left(\color{blue}{c \cdot \left(b \cdot z\right)} + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right)\]

   7. Simplified 8.7

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \left(c \cdot \left(b \cdot z\right) + \color{blue}{i \cdot \left(b \cdot \left(-t\right)\right)}\right)\right)\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied associate-*r* 8.3

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \left(c \cdot \left(b \cdot z\right) + \color{blue}{\left(i \cdot b\right) \cdot \left(-t\right)}\right)\right)\]

   if -1.1329614540433217e-41 < j < 1.7747111683562279e26

   1. Initial program 15.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   2. Simplified 15.2

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied sub-neg 15.2

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot z + \left(-t \cdot a\right)\right)} + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right)\]

   5. Applied distribute-lft-in 15.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right)} + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right)\]

   6. Simplified 15.0

      \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(z \cdot x\right)} + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right)\]

   7. Simplified 14.8

      \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + \color{blue}{a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)}\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right)\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied add-cube-cbrt 15.2

      \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - b \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i} \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right) \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)}\right)\]

   10. Applied associate-*r* 15.2

       \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(\sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i} \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}}\right)\]

   11. Simplified 15.2

       \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(\sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t} \cdot \sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied sub-neg 15.2

       \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)\right) + \left(j \cdot \color{blue}{\left(a \cdot c + \left(-y \cdot i\right)\right)} - \left(b \cdot \left(\sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t} \cdot \sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\]

   14. Applied distribute-lft-in 15.2

       \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)\right) + \left(\color{blue}{\left(j \cdot \left(a \cdot c\right) + j \cdot \left(-y \cdot i\right)\right)} - \left(b \cdot \left(\sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t} \cdot \sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\]

   15. Simplified 12.4

       \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)\right) + \left(\left(\color{blue}{c \cdot \left(j \cdot a\right)} + j \cdot \left(-y \cdot i\right)\right) - \left(b \cdot \left(\sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t} \cdot \sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\]

   16. Simplified 9.1

       \[\leadsto \left(y \cdot \left(z \cdot x\right) + a \cdot \left(t \cdot \left(-x\right)\right)\right) + \left(\left(c \cdot \left(j \cdot a\right) + \color{blue}{i \cdot \left(j \cdot \left(-y\right)\right)}\right) - \left(b \cdot \left(\sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t} \cdot \sqrt[3]{c \cdot z - i \cdot t}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 8.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;j \le -1.1329614540433217 \cdot 10^{-41} \lor \neg \left(j \le 1.7747111683562279 \cdot 10^{26}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) - \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + t \cdot \left(i \cdot \left(-b\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot \left(x \cdot z\right) + a \cdot \left(x \cdot \left(-t\right)\right)\right) + \left(\left(c \cdot \left(j \cdot a\right) + i \cdot \left(j \cdot \left(-y\right)\right)\right) - \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i} \cdot \left(b \cdot \left(\sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i} \cdot \sqrt[3]{z \cdot c - t \cdot i}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020179 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))