Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

Average Error: 12.5 → 12.8

Time: 19.8s

Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;j \le -1.0306115892092515 \cdot 10^{-224}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(\sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)} \cdot \sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)}\\ \mathbf{elif}\;j \le 1.11889698145177172 \cdot 10^{-213}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right) + 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + \left(b \cdot \left(-t\right)\right) \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.5
Target	20.1
Herbie	12.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.46969429677770502 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if j < -1.0306115892092515e-224

   1. Initial program 11.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 11.5

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)} \cdot \sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)}}\]

   if -1.0306115892092515e-224 < j < 1.11889698145177172e-213

   1. Initial program 18.4

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 18.4

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-t \cdot i\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied distribute-lft-in 18.4

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   5. Taylor expanded around 0 17.3

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right) + \color{blue}{0}\]

   if 1.11889698145177172e-213 < j

   1. Initial program 11.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 11.2

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-t \cdot i\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied distribute-lft-in 11.2

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied distribute-lft-neg-in 11.2

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \color{blue}{\left(\left(-t\right) \cdot i\right)}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   7. Applied associate-*r* 12.0

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + \color{blue}{\left(b \cdot \left(-t\right)\right) \cdot i}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 12.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;j \le -1.0306115892092515 \cdot 10^{-224}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(\sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)} \cdot \sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)}\\ \mathbf{elif}\;j \le 1.11889698145177172 \cdot 10^{-213}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right) + 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + \left(b \cdot \left(-t\right)\right) \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020175 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))