NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 30.1 → 1.0

Time: 8.8s

Precision: binary64

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 44.2525854011109701:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} + \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} - \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}^{3}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{{\left(\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}\right)}^{3}}}{2}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 44.2525854011109701

   1. Initial program 39.9

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-cbrt-cube 1.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}\right)}}}{2}\]

   5. Simplified 1.2

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}}{2}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied flip3-- 1.2

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + \left(\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)}}^{3}}}{2}\]

   8. Simplified 1.2

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}^{3}}}{2}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied add-cube-cbrt 2.2

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}}\right)}^{3}}}{2}\]

   11. Applied add-sqr-sqrt 2.2

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - \color{blue}{\sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}} \cdot \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}}{\left(\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}^{3}}}{2}\]

   12. Applied add-sqr-sqrt 3.2

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2} \cdot \sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}}^{3} - \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}} \cdot \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\left(\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}^{3}}}{2}\]

   13. Applied unpow-prod-down 1.3

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3}} - \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}} \cdot \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\left(\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}^{3}}}{2}\]

   14. Applied difference-of-squares 1.3

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} + \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} - \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}\right)}}{\left(\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}^{3}}}{2}\]

   15. Applied times-frac 1.3

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} + \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} - \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}}^{3}}}{2}\]

   if 44.2525854011109701 < x

   1. Initial program 0.2

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cbrt-cube 0.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}\right) \cdot \left(\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}\right)}}}{2}\]

   4. Simplified 0.2

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}\right)}^{3}}}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 44.2525854011109701:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} + \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2}\right)}^{3} - \sqrt{{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2} + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}}\right)}^{3}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{{\left(\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}\right)}^{3}}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020174 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (neg (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (neg (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))