Average Error: 61.3 → 2.4
Time: 20.1s
Precision: binary64
\[-\frac{1}{\frac{\pi}{4}} \cdot \log \left(\frac{e^{\frac{\pi}{4} \cdot f} + e^{-\frac{\pi}{4} \cdot f}}{e^{\frac{\pi}{4} \cdot f} - e^{-\frac{\pi}{4} \cdot f}}\right)\]
↓
\[-1 \cdot \left(\left(\frac{\log \left(\left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) - \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right)\right) \cdot \pi + \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \frac{4}{f}\right)}{\pi} - \frac{\log \left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \pi\right)}{\pi}\right) \cdot 4\right)\]

Error

Bits error versus f

Derivation

  1. Initial program 61.3

    \[-\frac{1}{\frac{\pi}{4}} \cdot \log \left(\frac{e^{\frac{\pi}{4} \cdot f} + e^{-\frac{\pi}{4} \cdot f}}{e^{\frac{\pi}{4} \cdot f} - e^{-\frac{\pi}{4} \cdot f}}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 2.3

    \[\leadsto -\frac{1}{\frac{\pi}{4}} \cdot \log \color{blue}{\left(\left(4 \cdot \frac{1}{\pi \cdot f} + 0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) - 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}\]

  3. Simplified2.4

    \[\leadsto -\frac{1}{\frac{\pi}{4}} \cdot \log \color{blue}{\left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) - 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) + \frac{\frac{4}{f}}{\pi}\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied div-inv2.4

    \[\leadsto -\color{blue}{\left(1 \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{4}}\right)} \cdot \log \left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) - 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) + \frac{\frac{4}{f}}{\pi}\right)\]

  6. Applied associate-*l*2.4

    \[\leadsto -\color{blue}{1 \cdot \left(\frac{1}{\frac{\pi}{4}} \cdot \log \left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) - 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) + \frac{\frac{4}{f}}{\pi}\right)\right)}\]

  7. Simplified2.3

    \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\log \left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) - 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) + \frac{\frac{4}{f}}{\pi}\right)}{\pi} \cdot 4\right)}\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied flip--2.3

    \[\leadsto -1 \cdot \left(\frac{\log \left(\color{blue}{\frac{\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) - \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)}} + \frac{\frac{4}{f}}{\pi}\right)}{\pi} \cdot 4\right)\]

  10. Applied frac-add2.3

    \[\leadsto -1 \cdot \left(\frac{\log \color{blue}{\left(\frac{\left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) - \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right)\right) \cdot \pi + \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \frac{4}{f}}{\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \pi}\right)}}{\pi} \cdot 4\right)\]

  11. Applied log-div2.4

    \[\leadsto -1 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\log \left(\left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) - \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right)\right) \cdot \pi + \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \frac{4}{f}\right) - \log \left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \pi\right)}}{\pi} \cdot 4\right)\]

  12. Applied div-sub2.4

    \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\log \left(\left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) - \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right)\right) \cdot \pi + \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \frac{4}{f}\right)}{\pi} - \frac{\log \left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \pi\right)}{\pi}\right)} \cdot 4\right)\]

  13. Final simplification2.4

    \[\leadsto -1 \cdot \left(\left(\frac{\log \left(\left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right)\right) - \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \left(3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right)\right) \cdot \pi + \left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \frac{4}{f}\right)}{\pi} - \frac{\log \left(\left(0.083333333333333343 \cdot \left(f \cdot \pi\right) + 3.472222222222224 \cdot 10^{-4} \cdot \left({f}^{3} \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot \pi\right)}{\pi}\right) \cdot 4\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020168 
(FPCore (f)
  :name "VandenBroeck and Keller, Equation (20)"
  :precision binary64
  (neg (* (/ 1.0 (/ PI 4.0)) (log (/ (+ (exp (* (/ PI 4.0) f)) (exp (neg (* (/ PI 4.0) f)))) (- (exp (* (/ PI 4.0) f)) (exp (neg (* (/ PI 4.0) f)))))))))