Average Error: 39.1 → 26.6
Time: 11.2s
Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.9966072678321527 \cdot 10^{54}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -8.1182116348951928 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.166134515309741 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.9749895528294481 \cdot 10^{-206}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.1855831245217049 \cdot 10^{-143}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.0547731849269709 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 38636472822869224:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{re + re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if re < -4.9966072678321527e54

    1. Initial program 45.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 13.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -4.9966072678321527e54 < re < -8.1182116348951928e-171

    1. Initial program 16.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt17.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod17.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    5. Simplified17.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-cube-cbrt17.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} - re\right)}\]

    8. Applied associate-*r*17.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    if -8.1182116348951928e-171 < re < -1.166134515309741e-300 or 3.9749895528294481e-206 < re < 3.1855831245217049e-143

    1. Initial program 30.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if -1.166134515309741e-300 < re < 3.9749895528294481e-206 or 3.1855831245217049e-143 < re < 1.0547731849269709e-24

    1. Initial program 34.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--33.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified30.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied unpow230.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Applied associate-/l*27.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}{im}}}}\]

    if 1.0547731849269709e-24 < re < 38636472822869224

    1. Initial program 46.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--46.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified33.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    5. Taylor expanded around -inf 48.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

    if 38636472822869224 < re

    1. Initial program 58.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified41.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    5. Taylor expanded around inf 34.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\color{blue}{re} + re}}\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

  4. Final simplification26.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.9966072678321527 \cdot 10^{54}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -8.1182116348951928 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.166134515309741 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.9749895528294481 \cdot 10^{-206}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.1855831245217049 \cdot 10^{-143}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.0547731849269709 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 38636472822869224:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{re + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020163 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))