Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

Average Error: 12.6 → 12.7

Time: 12.8s

Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le -2.2251287273862199 \cdot 10^{-214}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \sqrt[3]{j} \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;b \le 2.1617350394896929 \cdot 10^{-212}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - 0\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) + \left(-j\right) \cdot \left(y \cdot i\right)\right)\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.6
Target	20.1
Herbie	12.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.46969429677770502 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -2.2251287273862199e-214

   1. Initial program 11.6

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 11.9

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \sqrt[3]{j}\right)} \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied associate-*l* 11.9

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied associate-*l* 11.9

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{j} \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\right)}\]

   if -2.2251287273862199e-214 < b < 2.1617350394896929e-212

   1. Initial program 18.5

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   2. Taylor expanded around 0 17.4

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{0}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   if 2.1617350394896929e-212 < b

   1. Initial program 10.8

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 11.1

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \sqrt[3]{j}\right)} \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied associate-*l* 11.1

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied sub-neg 11.1

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \color{blue}{\left(c \cdot a + \left(-y \cdot i\right)\right)}\right)\]

   7. Applied distribute-lft-in 11.1

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(c \cdot a\right) + \sqrt[3]{j} \cdot \left(-y \cdot i\right)\right)}\]

   8. Applied distribute-lft-in 11.1

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(c \cdot a\right)\right) + \left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(-y \cdot i\right)\right)\right)}\]

   9. Simplified 11.4

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(\color{blue}{a \cdot \left(j \cdot c\right)} + \left(\sqrt[3]{j} \cdot \sqrt[3]{j}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(-y \cdot i\right)\right)\right)\]

   10. Simplified 11.3

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) + \color{blue}{\left(-j\right) \cdot \left(y \cdot i\right)}\right)\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 12.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le -2.2251287273862199 \cdot 10^{-214}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \sqrt[3]{j} \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(\sqrt[3]{j} \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;b \le 2.1617350394896929 \cdot 10^{-212}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - 0\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) + \left(-j\right) \cdot \left(y \cdot i\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020162 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))