math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 3.27105936734585665 \cdot 10^{-191}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.64142649187761812 \cdot 10^{121}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right| \cdot \sqrt{e^{\log \left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= 3.2710593673458567e-191)) {
		VAR = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) (im * im)) / ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) - re))))))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 2.641426491877618e+121)) {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) (((double) fabs(((double) (((double) cbrt(((double) (((double) cbrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) * ((double) cbrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))) * ((double) cbrt(((double) (((double) cbrt(((double) (((double) cbrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) * ((double) cbrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))) * ((double) cbrt(((double) cbrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))))))))) * ((double) sqrt(((double) exp(((double) log(((double) cbrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))))))) + re))))))));
		} else {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + re))))))));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	39.1
Target	34.1
Herbie	27.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 3.27105936734585665e-191

   1. Initial program 43.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 35.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if 3.27105936734585665e-191 < re < 2.64142649187761812e121

   1. Initial program 17.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 17.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 17.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   5. Simplified 17.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-exp-log 18.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}} + re\right)}\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied add-cube-cbrt 18.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right| \cdot \sqrt{e^{\log \left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\]

   10. Applied cbrt-prod 18.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right| \cdot \sqrt{e^{\log \left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied add-cube-cbrt 18.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right| \cdot \sqrt{e^{\log \left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\]

   13. Applied cbrt-prod 18.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right| \cdot \sqrt{e^{\log \left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\]

   if 2.64142649187761812e121 < re

   1. Initial program 56.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 27.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 3.27105936734585665 \cdot 10^{-191}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.64142649187761812 \cdot 10^{121}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right| \cdot \sqrt{e^{\log \left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020162 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))