Average Error: 29.3 → 0.1
Time: 4.1s
Precision: binary64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 7443.8141419858675:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.333333333333333315}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N}\right) + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N}\right)}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 7443.8141419858675:\\
\;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.333333333333333315}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N}\right) + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N}\right)}\\

\end{array}
double code(double N) {
	return ((double) (((double) log(((double) (N + 1.0)))) - ((double) log(N))));
}
↓
double code(double N) {
	double VAR;
	if ((N <= 7443.8141419858675)) {
		VAR = ((double) log(((double) (((double) (N + 1.0)) / N))));
	} else {
		VAR = ((double) (((double) (((double) (((double) (((double) (1.0 / ((double) pow(N, 2.0)))) * ((double) (((double) pow(((double) (0.3333333333333333 / N)), 3.0)) - ((double) pow(0.5, 3.0)))))) * N)) + ((double) (((double) (((double) (((double) (0.3333333333333333 / N)) * ((double) (0.3333333333333333 / N)))) + ((double) (((double) (0.5 * 0.5)) + ((double) (((double) (0.3333333333333333 / N)) * 0.5)))))) * 1.0)))) / ((double) (N * ((double) (((double) (0.5 * ((double) (0.5 + ((double) (0.3333333333333333 / N)))))) + ((double) (((double) (0.3333333333333333 / N)) * ((double) (0.3333333333333333 / N))))))))));
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus N

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 7443.8141419858675

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied diff-log0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)}\]

    if 7443.8141419858675 < N

    1. Initial program 59.4

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.333333333333333315 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip3--0.0

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\frac{0.333333333333333315}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.333333333333333315}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)}{\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.333333333333333315}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot N}}\]

    8. Simplified0.0

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.333333333333333315}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N}\right) + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N}\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 7443.8141419858675:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.333333333333333315}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.333333333333333315}{N}\right) + \frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N}\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020157 
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1.0)) (log N)))