Average Error: 59.9 → 1.1
Time: 10.4s
Precision: binary64
\[-0.0259999999999999988 \lt x \land x \lt 0.0259999999999999988\]
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]
↓
\[\left(\log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right) + \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right)\right)\right) + 0.333333333333333315 \cdot x\]
\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}
↓
\left(\log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right) + \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right)\right)\right) + 0.333333333333333315 \cdot x
double code(double x) {
	return ((double) (((double) (1.0 / x)) - ((double) (1.0 / ((double) tan(x))))));
}
↓
double code(double x) {
	return ((double) (((double) (((double) log(((double) sqrt(((double) exp(((double) (((double) pow(x, 2.0)) * ((double) (0.5 - ((double) (x * 0.03333333333333333)))))))))))) + ((double) (((double) (2.0 * ((double) log(((double) cbrt(((double) sqrt(((double) exp(((double) (((double) pow(x, 2.0)) * ((double) (0.5 - ((double) (x * 0.03333333333333333)))))))))))))))) + ((double) log(((double) cbrt(((double) sqrt(((double) exp(((double) (((double) pow(x, 2.0)) * ((double) (0.5 - ((double) (x * 0.03333333333333333)))))))))))))))))) + ((double) (0.3333333333333333 * x))));
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original59.9
Target0.1
Herbie1.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \lt 0.0259999999999999988:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 59.9

    \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

  2. Taylor expanded around 0 1.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + 0.333333333333333315 \cdot x\right) - 0.0333333333333333329 \cdot {x}^{3}}\]

  3. Simplified1.5

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right) + 0.333333333333333315 \cdot x}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-log-exp1.1

    \[\leadsto \color{blue}{\log \left(e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}\right)} + 0.333333333333333315 \cdot x\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied add-sqr-sqrt1.1

    \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}} \cdot \sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right)} + 0.333333333333333315 \cdot x\]

  8. Applied log-prod1.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right)\right)} + 0.333333333333333315 \cdot x\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied add-cube-cbrt1.1

    \[\leadsto \left(\log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right) + \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right)}\right) + 0.333333333333333315 \cdot x\]

  11. Applied log-prod1.1

    \[\leadsto \left(\log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right) + \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right)\right)}\right) + 0.333333333333333315 \cdot x\]

  12. Simplified1.1

    \[\leadsto \left(\log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right) + \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right)\right)\right) + 0.333333333333333315 \cdot x\]

  13. Final simplification1.1

    \[\leadsto \left(\log \left(\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}\right) + \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt{e^{{x}^{2} \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.0333333333333333329\right)}}}\right)\right)\right) + 0.333333333333333315 \cdot x\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020147 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))