NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 29.4 → 1.7

Time: 6.2s

Precision: 64

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 2.87581745379749768 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(2 - 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x + x \cdot 1\right) + 2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(e^{-1}\right)}^{\left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x\right)} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.8758174537974977e-18

   1. Initial program 38.7

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-cube-cbrt 1.1

      \[\leadsto \frac{\left(0.66666666666666674 \cdot {\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

   5. Applied unpow-prod-down 1.1

      \[\leadsto \frac{\left(0.66666666666666674 \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right)} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

   6. Applied associate-*r* 1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

   7. Simplified 1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied add-cube-cbrt 1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x} \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)} \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied flip-- 1.1

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(\left(\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x} \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x} \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + 2\right) - \left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(\left(\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x} \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}}}}{2}\]

   12. Simplified 1.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(2 - 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\left(\left(\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x} \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

   13. Simplified 1.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(2 - 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x + x \cdot 1\right) + 2}}}{2}\]

   if 2.8758174537974977e-18 < x

   1. Initial program 3.3

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied neg-mul-1 3.3

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x\right)}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   4. Applied exp-prod 3.3

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \color{blue}{{\left(e^{-1}\right)}^{\left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x\right)}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 2.87581745379749768 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(2 - 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right) + \left({\left(\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x}\right)}^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot x + x \cdot 1\right) + 2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(e^{-1}\right)}^{\left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x\right)} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020130 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))