NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 28.9 → 0.9

Time: 5.9s

Precision: 64

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 1.1309056466216085:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}\right)}^{3}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 \cdot \left(\left(\frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot {\left(e^{-\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}}\right)}^{\left(\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}\right)}}{2}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.1309056466216085

   1. Initial program 38.4

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + \left(\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)\right)}}}{2}\]

   5. Simplified 1.0

      \[\leadsto \frac{\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}}}{2}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-cbrt-cube 1.0

      \[\leadsto \frac{\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right)}}}}{2}\]

   8. Applied add-cbrt-cube 1.0

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left({\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \left({\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)\right) \cdot \left({\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}}}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right)}}}{2}\]

   9. Applied cbrt-undiv 1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(\left({\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) \cdot \left({\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)\right) \cdot \left({\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right)}{\left(\left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)\right)}}}}{2}\]

   10. Simplified 1.0

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}\right)}^{3}}}}{2}\]

   if 1.1309056466216085 < x

   1. Initial program 0.6

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around inf 0.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)} + \left(1 \cdot \frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + 1 \cdot e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right)\right) - 1 \cdot \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}}}{2}\]

   3. Simplified 0.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\left(\frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}}{2}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-sqr-sqrt 0.5

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\left(\frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot e^{-\color{blue}{\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x} \cdot \sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}}}}{2}\]

   6. Applied distribute-lft-neg-in 0.5

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\left(\frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot e^{\color{blue}{\left(-\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}\right) \cdot \sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}}}}{2}\]

   7. Applied exp-prod 0.5

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\left(\frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot \color{blue}{{\left(e^{-\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}}\right)}^{\left(\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}\right)}}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.9

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 1.1309056466216085:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}\right)}^{3}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 \cdot \left(\left(\frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot {\left(e^{-\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}}\right)}^{\left(\sqrt{x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x}\right)}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020129 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))