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\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.59723765 \cdot 10^{-317}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.17398259743573197 \cdot 10^{-216}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 7.2522036774607556 \cdot 10^{-138}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.81775767047105466 \cdot 10^{306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.59723765 \cdot 10^{-317}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.17398259743573197 \cdot 10^{-216}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 7.2522036774607556 \cdot 10^{-138}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.81775767047105466 \cdot 10^{306}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) - re))))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((((double) (im * im)) <= 1.5972376528296e-317)) {
		VAR = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (-2.0 * re))))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((((double) (im * im)) <= 1.173982597435732e-216)) {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) pow(im, 2.0)) / ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((((double) (im * im)) <= 7.252203677460756e-138)) {
				VAR_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (-2.0 * re))))))));
			} else {
				double VAR_3;
				if ((((double) (im * im)) <= 1.8177576704710547e+306)) {
					VAR_3 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) pow(im, 2.0)) / ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))))));
				} else {
					VAR_3 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (im - re))))))));
				}
				VAR_2 = VAR_3;
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (* im im) < 1.5972376528296e-317 or 1.173982597435732e-216 < (* im im) < 7.252203677460756e-138

    1. Initial program 40.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 37.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if 1.5972376528296e-317 < (* im im) < 1.173982597435732e-216 or 7.252203677460756e-138 < (* im im) < 1.8177576704710547e+306

    1. Initial program 22.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--29.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified23.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 1.8177576704710547e+306 < (* im im)

    1. Initial program 63.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification30.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.59723765 \cdot 10^{-317}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.17398259743573197 \cdot 10^{-216}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 7.2522036774607556 \cdot 10^{-138}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.81775767047105466 \cdot 10^{306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020114 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))