Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

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Precision: 64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le -1.4198310397800835 \cdot 10^{-189} \lor \neg \left(x \le 8.5329089279953774 \cdot 10^{-157}\right):\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-b\right) \cdot \left(t \cdot i\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0 - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return (((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double VAR;
	if (((x <= -1.4198310397800835e-189) || !(x <= 8.532908927995377e-157))) {
		VAR = (((x * ((y * z) - (t * a))) - ((z * (b * c)) + (-b * (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i))));
	} else {
		VAR = ((0.0 - (b * ((c * z) - (t * i)))) + ((j * ((c * a) - (y * i))) + (j * fma(-i, y, (i * y)))));
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.2
Target	19.9
Herbie	12.5

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.46969429677770502 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.4198310397800835e-189 or 8.532908927995377e-157 < x

   1. Initial program 10.4

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 10.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \sqrt[3]{b}\right)} \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied associate-*l* 10.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied sub-neg 10.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-t \cdot i\right)\right)}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   7. Applied distribute-lft-in 10.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(c \cdot z\right) + \sqrt[3]{b} \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   8. Applied distribute-lft-in 10.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(c \cdot z\right)\right) + \left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right)}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   9. Simplified 10.8

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{z \cdot \left(b \cdot c\right)} + \left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   10. Simplified 10.7

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \color{blue}{\left(-b\right) \cdot \left(t \cdot i\right)}\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   if -1.4198310397800835e-189 < x < 8.532908927995377e-157

   1. Initial program 16.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied prod-diff 16.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, a, -i \cdot y\right) + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)}\]

   4. Applied distribute-lft-in 16.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(j \cdot \mathsf{fma}\left(c, a, -i \cdot y\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)}\]

   5. Simplified 16.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(\color{blue}{j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)} + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)\]

   6. Taylor expanded around 0 17.3

      \[\leadsto \left(\color{blue}{0} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 12.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le -1.4198310397800835 \cdot 10^{-189} \lor \neg \left(x \le 8.5329089279953774 \cdot 10^{-157}\right):\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + \left(-b\right) \cdot \left(t \cdot i\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0 - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020105 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))