Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, J

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Precision: 64

Math

\[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} = -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \mathsf{fma}\left(9, \frac{x}{\frac{z \cdot c}{y}}, \frac{b}{z \cdot c}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \le -8.42122170042139568 \cdot 10^{-267}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \le 2306277301060594570000:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(9 \cdot x, y, b\right)}{z}}{c}\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \le 2.77447370466122929 \cdot 10^{294}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \mathsf{fma}\left(9, \frac{x}{z} \cdot \frac{y}{c}, \frac{b}{z \cdot c}\right)\right)\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	return (((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	double VAR;
	if (((((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c)) <= -inf.0)) {
		VAR = fma(-4.0, ((t * a) / c), fma(9.0, (x / ((z * c) / y)), (b / (z * c))));
	} else {
		double VAR_1;
		if (((((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c)) <= -8.421221700421396e-267)) {
			VAR_1 = (((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c));
		} else {
			double VAR_2;
			if (((((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c)) <= 2.3062773010605946e+21)) {
				VAR_2 = fma(-4.0, ((t * a) / c), ((fma((9.0 * x), y, b) / z) / c));
			} else {
				double VAR_3;
				if (((((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c)) <= 2.7744737046612293e+294)) {
					VAR_3 = (((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c));
				} else {
					VAR_3 = fma(-4.0, ((t * a) / c), fma(9.0, ((x / z) * (y / c)), (b / (z * c))));
				}
				VAR_2 = VAR_3;
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Target

Original	20.8
Target	14.8
Herbie	5.3

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \lt -1.10015674080410512 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \lt -0.0:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z}}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \lt 1.17088779117474882 \cdot 10^{-53}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \lt 2.8768236795461372 \cdot 10^{130}:\\ \;\;\;\;\left(\left(9 \cdot \frac{y}{c}\right) \cdot \frac{x}{z} + \frac{b}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \lt 1.3838515042456319 \cdot 10^{158}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(9 \cdot \left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right) + \frac{b}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) < -inf.0

   1. Initial program 64.0

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\]

   2. Simplified 29.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z \cdot c}\right)}\]

   3. Taylor expanded around 0 29.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \color{blue}{\frac{b}{z \cdot c} + 9 \cdot \frac{x \cdot y}{z \cdot c}}\right)\]

   4. Simplified 29.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(9, \frac{x \cdot y}{z \cdot c}, \frac{b}{z \cdot c}\right)}\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied associate-/l* 16.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \mathsf{fma}\left(9, \color{blue}{\frac{x}{\frac{z \cdot c}{y}}}, \frac{b}{z \cdot c}\right)\right)\]

   if -inf.0 < (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) < -8.421221700421396e-267 or 2.3062773010605946e+21 < (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) < 2.7744737046612293e+294

   1. Initial program 0.8

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\]

   if -8.421221700421396e-267 < (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) < 2.3062773010605946e+21

   1. Initial program 18.0

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\]

   2. Simplified 11.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z \cdot c}\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied associate-/r* 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}}{c}}\right)\]

   5. Simplified 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(9 \cdot x, y, b\right)}{z}}}{c}\right)\]

   if 2.7744737046612293e+294 < (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c))

   1. Initial program 61.9

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\]

   2. Simplified 31.5

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z \cdot c}\right)}\]

   3. Taylor expanded around 0 31.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \color{blue}{\frac{b}{z \cdot c} + 9 \cdot \frac{x \cdot y}{z \cdot c}}\right)\]

   4. Simplified 31.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(9, \frac{x \cdot y}{z \cdot c}, \frac{b}{z \cdot c}\right)}\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied times-frac 18.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \mathsf{fma}\left(9, \color{blue}{\frac{x}{z} \cdot \frac{y}{c}}, \frac{b}{z \cdot c}\right)\right)\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 5.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} = -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \mathsf{fma}\left(9, \frac{x}{\frac{z \cdot c}{y}}, \frac{b}{z \cdot c}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \le -8.42122170042139568 \cdot 10^{-267}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \le 2306277301060594570000:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(9 \cdot x, y, b\right)}{z}}{c}\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \le 2.77447370466122929 \cdot 10^{294}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-4, \frac{t \cdot a}{c}, \mathsf{fma}\left(9, \frac{x}{z} \cdot \frac{y}{c}, \frac{b}{z \cdot c}\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020103 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, J"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* (* z 4) t) a)) b) (* z c)) -1.1001567408041051e-171) (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* z 4) (* t a))) b) (* z c)) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* (* z 4) t) a)) b) (* z c)) -0.0) (/ (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* (* z 4) t) a)) b) z) c) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* (* z 4) t) a)) b) (* z c)) 1.1708877911747488e-53) (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* z 4) (* t a))) b) (* z c)) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* (* z 4) t) a)) b) (* z c)) 2.876823679546137e+130) (- (+ (* (* 9 (/ y c)) (/ x z)) (/ b (* c z))) (* 4 (/ (* a t) c))) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* (* z 4) t) a)) b) (* z c)) 1.3838515042456319e+158) (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* z 4) (* t a))) b) (* z c)) (- (+ (* 9 (* (/ y (* c z)) x)) (/ b (* c z))) (* 4 (/ (* a t) c))))))))

  (/ (+ (- (* (* x 9) y) (* (* (* z 4) t) a)) b) (* z c)))